Тема 4. Тема 4
матеріал 8

Рух тіл, кинутих горизонтально та під кутом до горизонту

Матеріал

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 50. Рух тіл, кинутих горизонтально та під кутом до горизонту

Очікувані результати навчання
  • формулює самостійно або у співпраці з іншими проблему дослідження [12 ПРО 1.1.1]
  • здійснює самостійно або у співпраці з іншими дослідження, фіксує результати [12 ПРО 1.4.2]
  • планує, здійснює пошук, опрацьовує, порівнює, аналізує, оцінює самостійно або у співпраці з іншими надійність джерел і достовірність інформації для розв’язання життєвої/навчальної проблеми [12 ПРО 2.1.1]
  • порівнює, аналізує самостійно або у співпраці з іншими природні і техногенні об’єкти, явища і процеси на основі наукових методів пізнання та законів природи[12 ПРО 3.1.1]
  • визначає самостійно або у співпраці з іншими аргументи/твердження, теорії, що ґрунтуються на наукових фактах і доказах[12 ПРО 4.1.1]
  • застосовує самостійно або у співпраці з іншими наукове знання і власний досвід для розв’язання життєвої/ навчальної проблеми [12 ПРО 4.3.2]

Мета уроку: сформувати в учнів розуміння двовимірного руху тіл, зокрема руху, кинутого горизонтально та під кутом до горизонту; навчити визначати час польоту, максимальну висоту та дальність за відомими параметрами; розвинути вміння аналізувати реальні приклади такого руху.

Очікувані результати для вчителя:
  • розуміє як змінюються проєкції швидкості та координати під час руху тіла у двох напрямках одночасно
  • пояснює форму траєкторії та залежність висоти й дальності польоту від початкової швидкості та кута кидання
  • навчиться застосовувати формули для визначення часу польоту, максимальної висоти та дальності руху тіл
  • наводить приклади руху тіл, кинутого під кутом, у повсякденному житті, техніці та споті
  • аналізує результати обчислень і робить висновки щодо впливу початкових умів на траєкторію та дальність польоту.
Очікувані результати для учнівства:
  • розуміє як змінюються проєкції швидкості та координати під час руху тіла у двох напрямках одночасно
  • пояснює форму траєкторії та залежність висоти й дальності польоту від початкової швидкості та кута кидання
  • навчиться застосовувати формули для визначення часу польоту, максимальної висоти та дальності руху тіл
  • наводить приклади руху тіл, кинутого під кутом, у повсякденному житті, техніці та споті
  • аналізує результати обчислень і робить висновки щодо впливу початкових умів на траєкторію та дальність польоту.
Ключові слова:
  • кут
  • траєкторія
  • початкова швидкість
  • час польоту
  • максимальна висота
  • дальність польоту
  • сила тяжіння
  • прискорення вільного падіння
  • проекції швидкості
План уроку:
  1. Мотивація
  2. Теоретичний блок
  3. Практичний блок 
  4. Попрактикуймо самостійно
  5. Рефлексія
1. Мотивація
Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв

Проблемне питання

Атракціон «людина-ядро» — це видовищний номер, у якому людину “вистрілюють” із гармати за допомогою стисненого повітря або пружинного механізму (рис.1). Під час польоту артист може розвивати швидкість понад 100 км/год і пролетіти до 60 метрів. Першою “людиною-ядром” була артистка Zazel, яка виконала цей трюк ще у 1877 році в Лондоні. Сучасні гармати обладнані комп’ютерними системами, що точно розраховують траєкторію польоту.

Рис. 1

Джерело: https://en.wikipedia.org/wiki/Human_cannonball

  1. Від чого залежить дальність польоту “людини-ядра”?
  2. Від чого залежить висота польоту “людини-ядра”?
  3. Як вестибулярний апарат людини реагує на такі перевантаження?
  4. Чому для безпечного виконання трюку важливо мати добре розвинені м’язи спини та ніг?
  5. Як організм готується до стресової ситуації під час польоту — які гормони при цьому виділяються?

Посилання на відео джерела:

Відео

  • https://www.youtube.com/watch?v=1eRimU5befo

Відео

2. Теоретичний блок
Дружня порада вчителю

Тривалість до 20 хв

Використання симуляцій

Під час висвітлення теорії важливо донести учням, що їм потрібно саме навчитися виводити формули та зрозуміти як кут та початкова швидкість польоту впливають на висоту та дальність польоту. Поясніть, що заучування формул не дадуть результат. Важливо навчити аналізувати виведені формули. 

На минулих уроках ми вже познайомилися з деякими видами руху: прямолінійний рівномірний, прямолінійний рівноприскорений, рух під дією сили тяжіння. Особливість цих рухів у тому, що вини є одновимірними, тобто тіла рухалися вздовж однієї осі (х або у). Тепер ми переходимо до вивчення двовимірного руху, тобто такого у якому зміни положення тіла відбуваються вздовж двох осей одночасно. 

Сьогодні розпочинаємо вивчення одночасно і складної і цікавої теми кінематики — руху тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Такий рух ми спостерігаємо часто, але просто не замислюємося над його особливостями.

Приклади:

  1. Спорт

Рух по дузі м’яча після удару у футболі чи кидку у баскетболі; метання списа. Від початкової швидкість та кута під яким буде рухатися тіло, напряму буде залежати результат у вказаних спортивних подіях (рис.2).

Рис. 2

Джерело: https://chatgpt.com

  1.  Розваги

У відеоіграх та фільмах аналіз особливостей руху тіл, що рухаються під кутом до горизонту, використовується для створення реалістичної анімації (рис.3). Чи то стрибки персонажа з однієї платформи на іншу, чи то сцена битви зі стрілами, що летять. Правильна фізика робить віртуальну сцену більш реалістичною для глядачів.

Рис. 3

Джерело: https://chatgpt.com

  1. Феєрверки

Під час розробки феєрверків врахування часу польоту та висоти на якій буде знаходитися вибуховий елемент впливає не тільки на візуальну картинку, а й на безпеку людей, що за ним спостерігають (рис.4).

Рис. 4

Джерело: https://chatgpt.com

  1.  Фотографія

Під час фотографування, особливо спортивних або динамічних подій, розуміння особливостей  руху об’єкта під кутом до горизонту, може допомогти фотографам зафіксувати ідеальний момент, знаючи, де буде об’єкт у певний час, що дозволяє краще кадрувати та фокусуватися (рис.5).

Рис. 5

Джерело: https://awfulannouncing.com/mlb/lcs-viewership-remains-sluggish-despite-exciting-tuesday-of-action.html

А де ще ми можемо зустріти рух тіл, кинутих під кутом до горизонту?

Рух тіла, кинутого під кутом α до горизонту, можна розглядати як результат додавання двох незалежних рухів: рівномірного прямолінійного вздовж осіХ і рівнозмінного вздовж осі Y (рис. 6).

Рис. 6

Із цього випливає, що проекція швидкості vx весь час залишається  постійною:


(1)   \begin{equation*}v_{0x} = v_x = const.\end{equation*}

Координата х змінюється згідно із законом рівномірного руху:


(2)   \begin{equation*}x = x_0 + v_{0x}t\end{equation*}

Уздовж осі Y рух є рівноприскореним, оскільки вектор прискорення вільного падіння g на невеликих висотах є величиною сталою, отже, згідно із законом рівноприскореного руху:


(3)   \begin{equation*}y = y_0 + v_{0y}t + \frac{gt^2}{2}\end{equation*}

У вибраній нами системі координат  


(4)   \begin{equation*}x_0 = 0; \quad y_0 = 0; \quad v_{0y} = v_0 \sin\alpha;\end{equation*}


(5)   \begin{equation*}v_{0x} = v_0 \cos\alpha\end{equation*}

Таким чином закон балістичного руху для тіла, кинутого під кутом до горизонту, має вигляд:


(6)   \begin{equation*}x - (v_0 \cos\alpha)t \quad y - (v_0 \sin\alpha)t\end{equation*}

Задаючи певні параметри руху об’єкта, а саме початкову швидкість та кут під яким буде рухатися тіло, ми зможемо встановити низку важливих параметрів руху, а  саме:

  • 1) Яким буде час польоту тіла?
  • 2) Якою буде максимальна висота підняття тіла?
  • 3) Якою буде дальність польоту?
  • 1) Час польоту

Коли час польоту вичерпано, тіло торкається землі, тобто кінцева координата тіла по осі у є нульовою. 

Відповідно формула (2) набуватиме вигляду

Звідси можна виразити час польоту:

Результат показує, що час польоту залежить від того, з якою швидкістю кинуто тіло та під яким кутом. Ще можна помітити, що час польоту прямопропорційний початковій швидкості. Це означає: якщо ви кинули тіло зі швидкістю не 5 м/с, а 10 м/с (під однаковим кутом), він перебуватиме в польоті вдвічі довше. Відповідно у скільки разів збільшується швидкість кидання, у стільки само разів подовжується час польоту. 

Подумай, при якому куті досягається максимальний час польоту за незмінної швидкості?

2) Максимальна висота польоту

У момент досягнення тілом максимальної висоти проекція його швидкості на вертикальну вісь дорівнює 0. При тому, що y=h, vy=0. Тоді з рівняння vy=v0y+gyt  та v0y=v0sin отримуємо:

де t1 час досягнення найбільшої висоти.


(7)   \begin{equation*}t_1 = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}\end{equation*}

Цей час потрібен, щоб знайти максимальну висоту. Зважте, що половину часу тіло набирає висоту, і рівно стільки само часу витрачається на його зниження. Для того щоб знайти h, запишемо:


(8)   \begin{equation*}h = v_0 \sin\alpha t_1 - \frac{g \cdot t_1^2}{2} = v_0 \sin\alpha \cdot \frac{v_0 \sin\alpha}{g} - \frac{g}{2} \cdot \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{g^2}\end{equation*}

Після спрощення отримуємо остаточну формулу для максимальної висоти:


(9)   \begin{equation*}h = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}\end{equation*}

Якщо ми подвоїмо початкову швидкість, тіло летітиме удвічі довше, а підніматиметься вчетверо вище. Друга особливість полягає в тому, що чим більше буде sinα, тим більшою виявиться висота польоту. 

3) Дальність польоту

Дальність польоту є координатою тіла х у момент, коли пройшов час tп. Оскільки ми знаємо час польоту й закон зміни координати х, із формул (3)  та (4) випливає:

Звідси отримаємо формулу для дальності польоту:


(10)   \begin{equation*}L = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{g}\end{equation*}

Ця формулу можна записати ще простіше, пам’ятаючи з математики, що


(11)   \begin{equation*}2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin2\alpha\end{equation*}


(12)   \begin{equation*}L = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha}{g}\end{equation*}

Особливості:

а) дальність польоту пропорційна квадрату початкової швидкості

б) L=max коли α=45°

Візьмемо кути менший за 45° і більший, але так, щоб їх сума дорівнювала 90° У цьому разі дальність буде меншою, але виявляється однаковою як для 70°, так і для 20°. Зауваж: сума цих кутів дорівнює 90°. У цих двох траєкторій є свої назви – навісна та настильна (рис.7).

Рис. 7

Уявіть метальника списа під час Олімпійських ігор. Коли спис віддаляється від спортсмена, у нього є певний вектор початкової швидкості, і цього цілком достатньо для передбачення результату кидання. А якщо знаємо, під яким кутом потрібно кидати спис, можна поставити спортивний рекорд дальності метання.

Розглянемо ще один рух: рух тіла, кинутого горизонтально з висоти H. Це окремий випадок руху тіла, кинутого під кутом до горизонту (α = 0) з деякої висоти Н. Це криволінійний рух уздовж однієї вітки параболи від її вершини. У вертикальному напрямку вздовж осі Y відбувається вільне падіння, у горизонтальному напрямку вздовж осі Х — рівномірний рух (рис.8). У будь-який момент часу швидкість v напрямлена по дотичній до траєкторії. Горизонтальна проекція швидкості в будь-який момент часу залишається сталою, vx=v0, а вертикальна проекція лінійно зростає із часом: vy=gt.

Рис. 8

Рівняння руху в горизонтальному напрямку x=vxt, у вертикальному


(13)   \begin{equation*}y = \frac{gt^2}{2}\end{equation*}

Оскільки 
​

(14)   \begin{equation*}v_x \perp v_y\end{equation*}

то модуль щвидкості в будь-який момент польоту


(15)   \begin{equation*}v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}\end{equation*}

Час падіння на поверхню Землі


(16)   \begin{equation*}t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\end{equation*}

Дальність польоту


(17)   \begin{equation*}L = v_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}\end{equation*}

Модуль швидкості в момент падіння на поверхню Землі:


(18)   \begin{equation*}v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}\end{equation*}

Формули, які траплялися в цій темі не прості (навіть складні)! Але їх необов’язково запам’ятовувати. Важливо пам’ятати не кінцевий результат, а шлях, яким ми ідемо в процесі розв’язання головної проблеми. Пам’ятайте у такому русі тіло бере участь у двох незалежних видах руху: рівномірному русі по горизонталі та рівнозмінному по вертикалі.

3. Практичний блок
Дружня порада вчителю

Тривалість до 10 хв

Завдання № 1

Під час феєрверку, подібного до зображеного на рис. 9, снаряд випускається в повітря з початковою швидкістю 70 м/с під кутом 75° до горизонту. Запалювач спрацьовує так, щоб запалити снаряд саме тоді, коли він досягне найвищої точки над землею.

Рис. 9

Джерело: https://openstax.org/books/physics/pages/5-3-projectile-motion?utm_source

  1. Обчисліть висоту, на якій вибухне снаряд. 
  2. Скільки часу пройшло між запуском снаряда та вибухом?
  3. Якби снаряд випускали з тією ж швидкістю, але під меншим кутом, як змінилися б час польоту та дальність?
  4. Які можливі наслідки для слухового апарату, якщо людина стоїть надто близько до місця запуску?
  5. Як організм реагує на раптові гучні звуки — які фізіологічні процеси при цьому активуються?
  6. Які речовини використовуються для створення різних кольорів у феєрверках (наприклад, зелений, червоний, синій)?

Відповідь:

  1. Час польоту зменшився, дальність зростає з наближенням до кута 45, а потім зменшується.
  2. Тимчасове приглушення слуху, дзвін у вухах. Електронні слухові апарати можуть перевантажуватися/спотворювати звук. Рекомендація: безпечна дистанція + захист слуху.
  3. Рефлекс переляку, скорочення м’язів. Активація симпатики: викид адреналіну.прискорення пульсу, підвищення тиску, розширення зіниць. Короткочасний гормональний стрес-відгук.
  4. Червоний: солі стронцію (SrCO₃, Sr(NO₃)₂), інколи літій.
    • Зелений: солі барію (Ba(NO₃)₂, BaCl₂) + хлордонори.
    • Синій: сполуки міді (хлориді міді) — найвибагливіші до температури.
    • Жовтий/помаранчевий: натрій.
    • Фіолетовий: комбінації калію/літію з міддю.
    • Білий/сріблясті іскри: порошки Al, Mg, Ti.
Завдання № 2

Тенісист після відбивання м’яча, запускає його у напрямку трибуни зі швидкістю 30 м/с під кутом 45  (рис.10 ). Під час падіння м’яч ловить глядач на відстані 10 м вище точки удару по м’ячу. 

Рис. 10

Джерело: https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/4-3-projectile-motion?utm_source

  1. Обчисли час, який знадобиться тенісному м’ячу, щоб досягти глядача. 
  2. Визнач швидкість м’яча в момент коли його зловили.

Відповідь:


(19)   \begin{equation*}y = v_{0y}t - \frac{g_y}{2}t^2\end{equation*}


(20)   \begin{equation*}10 = 30 \sin 45 t - 5t^2\end{equation*}

Розв’язуємо квадратне рівняння

  • t1=0,54 c
  • t2=3,7 c

Нас задовольняє t2=3,7 c

  1. Горизонтальна складова

Вертикальна складова

Повна швидкість

Завдання № 3

Людина кидає м’яч у горизонтальному напрямку з будівлі висотою 18 м.
М’яч ловить інша людина, яка стоїть на даху іншої будівлі, висота якої 8,2 м над землею. Відстань між будівлями становить 6,2 м. 

  1. Намалюйте малюнок з нанесеною умовою до цієї задачі
  2. Скільки часу м’яч перебував у повітрі?
  3. З якою швидкістю був кинутий м’яч?
  4. Який модуль швидкості м’яча в момент потрапляння в руки людині?

Відповідь:

  1. Вертикальна швидкість
4. Попрактикуймо самостійно
Дружня порада вчителю

Тривалість до 10 хв

Гравець у гольф виконує два різних удари (рис.11).

Випадок 1 — низький удар

М’яч запускають під кутом 30° до горизонту. Відстань на яку при цьому летить м’яч становить 90 м. 

Випадок 2 — високий удар 70° до горизонту. Відстань на яку при цьому летить м’яч також становить 90 м.

Рис. 11

Джерело: https://chatgpt.com

  1. Чому дорівнює початкова швидкість удару м’яча у кожному випадку?
  2. На яку максимальну висоту підлетить м’яч у кожному випадку?
  3. Скільки часу м’яч перебував у повітрі у кожному випадку?
  4. На яку висоту злетить м’яч, якщо його швидкість збільшити на 20% при кожному урарі (незмінюючи кут)?
  5. Чому покриття м’яча має дрібні вм’ятини (димпли) (рис.12)?
Рис. 12

Відповідь:


(21)   \begin{equation*}L = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{g}\end{equation*}


(22)   \begin{equation*}v_0 = \sqrt{\frac{Lg}{\sin 2\alpha}}\end{equation*}

  • v01=32 м/с
  • v02=37,5 м/с


(23)   \begin{equation*}h = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}\end{equation*}

  • h1=12,8 м
  • h2=62 м


(24)   \begin{equation*}t = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}\end{equation*}

  • t1=3,2 c
  • t2=7 c
  1. h1=18.7 м, h2=89 м
  2. зменшити опір повітря, збільшити дальність польоту, зробити траєкторію м’яча стабільнішою.
5. Рефлексія
Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв

На гілці дерева висить мавпа. Ваша мета — вистрілити в мавпу (звичайно, дротиком із транквілізатором — жодна мавпа не постраждала під час створення цієї симуляції). Єдина проблема полягає в тому, що мавпа відпустить гілку в момент, коли ви вистрілите з пістолета-транквілізатора. Ви повинні вирішити, куди цілитися, знаючи, що мавпа впаде, коли дротик влучить у неї. Дротик повинен влучити в маленьке біле коло на спині мавпи, щоб ви досягли успіху.

У вільний від відпочинку час

Використовуючи завдання з рефлексії, відшукайте декілька варіантів вирішення проблеми та підтвердить свої припущення розрахунками.

Завантажити матеріал (PDF)
Завантажити матеріал (PDF)

Урок 50. Рух тіл, кинутих горизонтально та під кутом до горизонту

Очікувані результати навчання

Мета уроку: сформувати в учнів розуміння двовимірного руху тіл, зокрема руху, кинутого горизонтально та під кутом до горизонту; навчити визначати час польоту, максимальну висоту та дальність за відомими параметрами; розвинути вміння аналізувати реальні приклади такого руху.

Очікувані результати для учнівства:
  • розуміє як змінюються проєкції швидкості та координати під час руху тіла у двох напрямках одночасно
  • пояснює форму траєкторії та залежність висоти й дальності польоту від початкової швидкості та кута кидання
  • навчиться застосовувати формули для визначення часу польоту, максимальної висоти та дальності руху тіл
  • наводить приклади руху тіл, кинутого під кутом, у повсякденному житті, техніці та споті
  • аналізує результати обчислень і робить висновки щодо впливу початкових умів на траєкторію та дальність польоту.
Ключові слова:
  • кут
  • траєкторія
  • початкова швидкість
  • час польоту
  • максимальна висота
  • дальність польоту
  • сила тяжіння
  • прискорення вільного падіння
  • проекції швидкості
План уроку:
  1. Мотивація
  2. Теоретичний блок
  3. Практичний блок 
  4. Попрактикуймо самостійно
  5. Рефлексія
1. Мотивація
Проблемне питання

Атракціон «людина-ядро» — це видовищний номер, у якому людину “вистрілюють” із гармати за допомогою стисненого повітря або пружинного механізму (рис.1). Під час польоту артист може розвивати швидкість понад 100 км/год і пролетіти до 60 метрів. Першою “людиною-ядром” була артистка Zazel, яка виконала цей трюк ще у 1877 році в Лондоні. Сучасні гармати обладнані комп’ютерними системами, що точно розраховують траєкторію польоту.

Рис. 1

Джерело: https://en.wikipedia.org/wiki/Human_cannonball

  1. Від чого залежить дальність польоту “людини-ядра”?
  2. Від чого залежить висота польоту “людини-ядра”?
  3. Як вестибулярний апарат людини реагує на такі перевантаження?
  4. Чому для безпечного виконання трюку важливо мати добре розвинені м’язи спини та ніг?
  5. Як організм готується до стресової ситуації під час польоту — які гормони при цьому виділяються?

Посилання на відео джерела:

Відео

  • https://www.youtube.com/watch?v=1eRimU5befo

Відео

2. Теоретичний блок

На минулих уроках ми вже познайомилися з деякими видами руху: прямолінійний рівномірний, прямолінійний рівноприскорений, рух під дією сили тяжіння. Особливість цих рухів у тому, що вини є одновимірними, тобто тіла рухалися вздовж однієї осі (х або у). Тепер ми переходимо до вивчення двовимірного руху, тобто такого у якому зміни положення тіла відбуваються вздовж двох осей одночасно. 

Сьогодні розпочинаємо вивчення одночасно і складної і цікавої теми кінематики — руху тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Такий рух ми спостерігаємо часто, але просто не замислюємося над його особливостями.

Приклади:

  1. Спорт

Рух по дузі м’яча після удару у футболі чи кидку у баскетболі; метання списа. Від початкової швидкість та кута під яким буде рухатися тіло, напряму буде залежати результат у вказаних спортивних подіях (рис.2).

Рис. 2

Джерело: https://chatgpt.com

  1.  Розваги

У відеоіграх та фільмах аналіз особливостей руху тіл, що рухаються під кутом до горизонту, використовується для створення реалістичної анімації (рис.3). Чи то стрибки персонажа з однієї платформи на іншу, чи то сцена битви зі стрілами, що летять. Правильна фізика робить віртуальну сцену більш реалістичною для глядачів.

Рис. 3

Джерело: https://chatgpt.com

  1. Феєрверки

Під час розробки феєрверків врахування часу польоту та висоти на якій буде знаходитися вибуховий елемент впливає не тільки на візуальну картинку, а й на безпеку людей, що за ним спостерігають (рис.4).

Рис. 4

Джерело: https://chatgpt.com

  1.  Фотографія

Під час фотографування, особливо спортивних або динамічних подій, розуміння особливостей  руху об’єкта під кутом до горизонту, може допомогти фотографам зафіксувати ідеальний момент, знаючи, де буде об’єкт у певний час, що дозволяє краще кадрувати та фокусуватися (рис.5).

Рис. 5

Джерело: https://awfulannouncing.com/mlb/lcs-viewership-remains-sluggish-despite-exciting-tuesday-of-action.html

А де ще ми можемо зустріти рух тіл, кинутих під кутом до горизонту?

Рух тіла, кинутого під кутом α до горизонту, можна розглядати як результат додавання двох незалежних рухів: рівномірного прямолінійного вздовж осіХ і рівнозмінного вздовж осі Y (рис. 6).

Рис. 6

Із цього випливає, що проекція швидкості vx весь час залишається  постійною:


(25)   \begin{equation*}v_{0x} = v_x = const.\end{equation*}

Координата х змінюється згідно із законом рівномірного руху:


(26)   \begin{equation*}x = x_0 + v_{0x}t\end{equation*}

Уздовж осі Y рух є рівноприскореним, оскільки вектор прискорення вільного падіння g на невеликих висотах є величиною сталою, отже, згідно із законом рівноприскореного руху:


(27)   \begin{equation*}y = y_0 + v_{0y}t + \frac{gt^2}{2}\end{equation*}

У вибраній нами системі координат  


(28)   \begin{equation*}x_0 = 0; \quad y_0 = 0; \quad v_{0y} = v_0 \sin\alpha;\end{equation*}


(29)   \begin{equation*}v_{0x} = v_0 \cos\alpha\end{equation*}

Таким чином закон балістичного руху для тіла, кинутого під кутом до горизонту, має вигляд:


(30)   \begin{equation*}x - (v_0 \cos\alpha)t \quad y - (v_0 \sin\alpha)t\end{equation*}

Задаючи певні параметри руху об’єкта, а саме початкову швидкість та кут під яким буде рухатися тіло, ми зможемо встановити низку важливих параметрів руху, а  саме:

  • 1) Яким буде час польоту тіла?
  • 2) Якою буде максимальна висота підняття тіла?
  • 3) Якою буде дальність польоту?
  • 1) Час польоту

Коли час польоту вичерпано, тіло торкається землі, тобто кінцева координата тіла по осі у є нульовою. 

Відповідно формула (2) набуватиме вигляду

Звідси можна виразити час польоту:

Результат показує, що час польоту залежить від того, з якою швидкістю кинуто тіло та під яким кутом. Ще можна помітити, що час польоту прямопропорційний початковій швидкості. Це означає: якщо ви кинули тіло зі швидкістю не 5 м/с, а 10 м/с (під однаковим кутом), він перебуватиме в польоті вдвічі довше. Відповідно у скільки разів збільшується швидкість кидання, у стільки само разів подовжується час польоту. 

Подумай, при якому куті досягається максимальний час польоту за незмінної швидкості?

2) Максимальна висота польоту

У момент досягнення тілом максимальної висоти проекція його швидкості на вертикальну вісь дорівнює 0. При тому, що y=h, vy=0. Тоді з рівняння vy=v0y+gyt  та v0y=v0sin отримуємо:

де t1 час досягнення найбільшої висоти.


(31)   \begin{equation*}t_1 = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}\end{equation*}

Цей час потрібен, щоб знайти максимальну висоту. Зважте, що половину часу тіло набирає висоту, і рівно стільки само часу витрачається на його зниження. Для того щоб знайти h, запишемо:


(32)   \begin{equation*}h = v_0 \sin\alpha t_1 - \frac{g \cdot t_1^2}{2} = v_0 \sin\alpha \cdot \frac{v_0 \sin\alpha}{g} - \frac{g}{2} \cdot \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{g^2}\end{equation*}

Після спрощення отримуємо остаточну формулу для максимальної висоти:


(33)   \begin{equation*}h = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}\end{equation*}

Якщо ми подвоїмо початкову швидкість, тіло летітиме удвічі довше, а підніматиметься вчетверо вище. Друга особливість полягає в тому, що чим більше буде sinα, тим більшою виявиться висота польоту. 

3) Дальність польоту

Дальність польоту є координатою тіла х у момент, коли пройшов час tп. Оскільки ми знаємо час польоту й закон зміни координати х, із формул (3)  та (4) випливає:

Звідси отримаємо формулу для дальності польоту:


(34)   \begin{equation*}L = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{g}\end{equation*}

Ця формулу можна записати ще простіше, пам’ятаючи з математики, що


(35)   \begin{equation*}2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin2\alpha\end{equation*}


(36)   \begin{equation*}L = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha}{g}\end{equation*}

Особливості:

а) дальність польоту пропорційна квадрату початкової швидкості

б) L=max коли α=45°

Візьмемо кути менший за 45° і більший, але так, щоб їх сума дорівнювала 90° У цьому разі дальність буде меншою, але виявляється однаковою як для 70°, так і для 20°. Зауваж: сума цих кутів дорівнює 90°. У цих двох траєкторій є свої назви – навісна та настильна (рис.7).

Рис. 7

Уявіть метальника списа під час Олімпійських ігор. Коли спис віддаляється від спортсмена, у нього є певний вектор початкової швидкості, і цього цілком достатньо для передбачення результату кидання. А якщо знаємо, під яким кутом потрібно кидати спис, можна поставити спортивний рекорд дальності метання.

Розглянемо ще один рух: рух тіла, кинутого горизонтально з висоти H. Це окремий випадок руху тіла, кинутого під кутом до горизонту (α = 0) з деякої висоти Н. Це криволінійний рух уздовж однієї вітки параболи від її вершини. У вертикальному напрямку вздовж осі Y відбувається вільне падіння, у горизонтальному напрямку вздовж осі Х — рівномірний рух (рис.8). У будь-який момент часу швидкість v напрямлена по дотичній до траєкторії. Горизонтальна проекція швидкості в будь-який момент часу залишається сталою, vx=v0, а вертикальна проекція лінійно зростає із часом: vy=gt.

Рис. 8

Рівняння руху в горизонтальному напрямку x=vxt, у вертикальному


(37)   \begin{equation*}y = \frac{gt^2}{2}\end{equation*}

Оскільки 
​

(38)   \begin{equation*}v_x \perp v_y\end{equation*}

то модуль щвидкості в будь-який момент польоту


(39)   \begin{equation*}v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}\end{equation*}

Час падіння на поверхню Землі


(40)   \begin{equation*}t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\end{equation*}

Дальність польоту


(41)   \begin{equation*}L = v_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}\end{equation*}

Модуль швидкості в момент падіння на поверхню Землі:


(42)   \begin{equation*}v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}\end{equation*}

Формули, які траплялися в цій темі не прості (навіть складні)! Але їх необов’язково запам’ятовувати. Важливо пам’ятати не кінцевий результат, а шлях, яким ми ідемо в процесі розв’язання головної проблеми. Пам’ятайте у такому русі тіло бере участь у двох незалежних видах руху: рівномірному русі по горизонталі та рівнозмінному по вертикалі.

3. Практичний блок
Завдання № 1

Під час феєрверку, подібного до зображеного на рис. 9, снаряд випускається в повітря з початковою швидкістю 70 м/с під кутом 75° до горизонту. Запалювач спрацьовує так, щоб запалити снаряд саме тоді, коли він досягне найвищої точки над землею.

Рис. 9

Джерело: https://openstax.org/books/physics/pages/5-3-projectile-motion?utm_source

  1. Обчисліть висоту, на якій вибухне снаряд. 
  2. Скільки часу пройшло між запуском снаряда та вибухом?
  3. Якби снаряд випускали з тією ж швидкістю, але під меншим кутом, як змінилися б час польоту та дальність?
  4. Які можливі наслідки для слухового апарату, якщо людина стоїть надто близько до місця запуску?
  5. Як організм реагує на раптові гучні звуки — які фізіологічні процеси при цьому активуються?
  6. Які речовини використовуються для створення різних кольорів у феєрверках (наприклад, зелений, червоний, синій)?
Завдання № 2

Тенісист після відбивання м’яча, запускає його у напрямку трибуни зі швидкістю 30 м/с під кутом 45  (рис.10 ). Під час падіння м’яч ловить глядач на відстані 10 м вище точки удару по м’ячу. 

Рис. 10

Джерело: https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/4-3-projectile-motion?utm_source

  1. Обчисли час, який знадобиться тенісному м’ячу, щоб досягти глядача. 
  2. Визнач швидкість м’яча в момент коли його зловили.
Завдання № 3

Людина кидає м’яч у горизонтальному напрямку з будівлі висотою 18 м.
М’яч ловить інша людина, яка стоїть на даху іншої будівлі, висота якої 8,2 м над землею. Відстань між будівлями становить 6,2 м. 

  1. Намалюйте малюнок з нанесеною умовою до цієї задачі
  2. Скільки часу м’яч перебував у повітрі?
  3. З якою швидкістю був кинутий м’яч?
  4. Який модуль швидкості м’яча в момент потрапляння в руки людині?
4. Попрактикуймо самостійно

Гравець у гольф виконує два різних удари (рис.11).

Випадок 1 — низький удар

М’яч запускають під кутом 30° до горизонту. Відстань на яку при цьому летить м’яч становить 90 м. 

Випадок 2 — високий удар 70° до горизонту. Відстань на яку при цьому летить м’яч також становить 90 м.

Рис. 11

Джерело: https://chatgpt.com

  1. Чому дорівнює початкова швидкість удару м’яча у кожному випадку?
  2. На яку максимальну висоту підлетить м’яч у кожному випадку?
  3. Скільки часу м’яч перебував у повітрі у кожному випадку?
  4. На яку висоту злетить м’яч, якщо його швидкість збільшити на 20% при кожному урарі (незмінюючи кут)?
  5. Чому покриття м’яча має дрібні вм’ятини (димпли) (рис.12)?
Рис. 12
5. Рефлексія

На гілці дерева висить мавпа. Ваша мета — вистрілити в мавпу (звичайно, дротиком із транквілізатором — жодна мавпа не постраждала під час створення цієї симуляції). Єдина проблема полягає в тому, що мавпа відпустить гілку в момент, коли ви вистрілите з пістолета-транквілізатора. Ви повинні вирішити, куди цілитися, знаючи, що мавпа впаде, коли дротик влучить у неї. Дротик повинен влучити в маленьке біле коло на спині мавпи, щоб ви досягли успіху.

У вільний від відпочинку час

Використовуючи завдання з рефлексії, відшукайте декілька варіантів вирішення проблеми та підтвердить свої припущення розрахунками.

Завантажити матеріал (PDF)

Ділись та обговорюй важливе

Обкладинка коментарів до матеріалу
Наступний: матеріал 9 Лабораторна робота №5. Визначення часу реакції людини методом «падіння лінійки». Попередній: матеріал 7 Рух тіл у полі сили тяжіння. Вільне падіння.

Твоя поточна позиція

8 матеріал

Тема 4 — матеріал 8 з 13

8 матеріал Ти тут