Тема 1. Тема 1

матеріал 5

Фізичні та математичні моделі

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 4. Фізичні та математичні моделі

Очікувані результати навчання

формулює самостійно або у співпраці з іншими проблему дослідження [12 ПРО 1.1.1]
формулює та обґрунтовує самостійно або у співпраці з іншими гіпотези відповідно до проблеми і мети дослідження, визначає завдання [12 ПРО 1.2.2]
створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12 ПРО 1.4.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими висновки за результатами досліджень та обґрунтовує їх [12 ПРО 1.5.2]
інтерпретує самостійно або у співпраці з іншими інформацію природничого змісту, представлену в різний спосіб [12 ПРО 2.2.2]
порівнює, аналізує самостійно або у співпраці з іншими природні і техногенні об’єкти, явища і процеси на основі наукових методів пізнання та законів природи [12 ПРО 3.1.1]
розробляє самостійно або у співпраці з іншими стратегії ефективного розв’язання життєвої/навчальної проблеми [12 ПРО 4.3.1]
застосовує самостійно або у співпраці з іншими наукове знання і власний досвід для розв’язання життєвої/ навчальної проблеми [12 ПРО 4.3.2]

Мета уроку: ознайомити учнів із фізичними та математичними моделями та їхньою роллю в науці. Навчити аналізувати й застосовувати різні види моделей для пояснення явищ

Очікувані результати для вчителя:

учні правильно формулюють визначення фізичних та математичних моделей
чітко розрізняють типи моделей, можуть пояснити їх
наводять приклади фізичних і математичних моделей та їх застосування
виконують аналіз заданої фізичної або математичної моделі, знаходять її переваги та обмеження

Очікувані результати для учнівства:

учні можуть пояснити, що таке фізичні та математичні моделі своїми словами.
вміють розрізняти основні типи моделей (експериментальні, аналогові, емпіричні, аналітичні, чисельні) та пояснити їхні особливості
наводять конкретні приклади фізичних та математичних моделей
застосовують отримані знання для аналізу та побудови моделей у практичних завданнях
можуть аргументувати вибір певної моделі для дослідження явища

Ключові слова:

моделювання
фізичні моделі
математичні моделі
емпіричні моделі
чисельні методи

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Визначення поняття фізичних та математичних моделей
2.2. Основні типи моделей
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв

Залучіть учнів до дискусії. Нехай учні висловлюють свої думки.

Чому моделювання важливе в науці та техніці?

Джерело: https://gemini.google.com/

Відповідь: Моделювання відіграє ключову роль у науці та техніці, оскільки дозволяє досліджувати складні явища, прогнозувати результати експериментів та оптимізувати технологічні процеси.

Як фізичні моделі допомагають в інженерному проєктуванні будівель?

Джерело: https://gemini.google.com/

Відповідь: Фізичні моделі допомагають інженерам та архітекторам візуалізувати, аналізувати та досліджувати свої проєкти, експериментувати з різними варіантами та вибрати найбільш оптимальне рішення, тестувати матеріали і конструкції на стійкість до навантажень тощо.

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/5wI5fUWswPE?feature=shared

Відео

https://youtu.be/sYbgn8N0Qpw?feature=shared

Відео

2. Теоретичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 15 хв.

Дайте визначення поняттю фізична та математична модель.

Запропонуйте учням спробувати самостійно навести приклади фізичних та математичних моделей. Продемонструйте фізичну модель, наприклад, глобус як модель Землі або модель атома, та обговоріть її переваги й недоліки.

2.1. Визначення поняття фізичних та математичних моделей

Фізичні та математичні моделі є потужними інструментами для аналізу та дослідження різних об’єктів і явищ.

Фізична модель – це матеріальне відтворення об’єкта або явища, що зберігає його основні характеристики, але є спрощеним або зменшеним варіантом реального об’єкта.

Фізичні моделі широко застосовуються в різних галузях, зокрема в інженерному проектуванні для аналізу будівельних конструкцій, у фізичних дослідженнях для вивчення властивостей матеріалів і природних явищ. Вони забезпечують наочність і візуалізацію процесів, дозволяють виявляти непередбачені ефекти й явища. Проте фізичні моделі мають і недоліки, серед яких обмеженість у масштабуванні та відтворенні реальних умов, а також складність аналізу складних систем.

Дружня порада вчителю

Продемонструйте найпростішу математичну модель, наприклад рух автомобіля з постійною швидкістю можна описати формулою швидкості $v = \frac{S}{t},$ v=tS,

де $S$ — пройдений шлях автомобіля, м, км, $t$ — час руху, с, год, є спрощеною математичною моделлю рівномірного руху. Обговоріть її переваги і недоліки.

Простою математичною моделлю, також, є формула додавання швидкостей
(1) $\begin{equation*}v = v_{\text{ч}} + v_{\text{т}},\end{equation*}$

для руху моторного човна за течією річки, де $v$ — швидкість човна відносно берега, м/с, км/год, $v_{\text{ч}}$ — власна швидкість човна, $v_{\text{т}}$ — швидкість течії річки.

Математична модель – це сукупність рівнянь, формул та логічних співвідношень, які описують певний фізичний процес чи явище у вигляді математичних виразів.

Математичні моделі мають ряд переваг, зокрема універсальність і гнучкість, можливість опису складних систем, а також швидкість і ефективність розрахунків. Однак вони вимагають спрощення реальності, залежать від точності вихідних даних і можуть бути складними для інтерпретації.

Фізичні та математичні моделі тісно взаємопов’язані й доповнюють одне одного в наукових дослідженнях і технічних розробках. Фізичні моделі розроблені для перевірки, калібрування та вдосконалення математичних моделей, забезпечуючи їхню відповідність реальним процесам. Водночас математичні моделі допомагають аналізувати та інтерпретувати результати експериментів з фізичними моделями. У багатьох випадках обидва підходи застосовуються разом, що дає змогу отримати більш точне, комплексне та глибоке розуміння досліджуваних об’єктів та явищ.

Порівняння фізичних та математичних моделей

Дружня порада вчителю

Поясніть учням відмінності між двома видами моделей

Характеристика	Фізичні моделі	Математичні моделі
Визначення	Реальні об’єкти, які відтворюють властивості досліджуваного явища або процесу	Абстрактні представлення явищ або процесів у вигляді математичних формул, рівнянь, алгоритмів
Універсальність	Часто обмежені конкретним явищем або процесом	Можуть бути більш універсальними, застосовуватися до різних галузей
Використання	Випробування, демонстрація, навчання	Прогнозування, аналіз, оптимізація
Приклади	Макет літака в аеродинамічній трубі, модель молекули ДНК, модель атома	Рівняння стану ідеального газу, закони руху планет, модель поширення епідемії, прогноз погоди
Переваги	Наочність, можливість експериментального дослідження	Гнучкість, можливість моделювання складних процесів
Недоліки	Обмежена точність, висока вартість, складність масштабування	Абстрактність, необхідність математичних знань, складність перевірки

2.2. Основні типи моделей

Дружня порада вчителю

Опишіть різні типи фізичних та математичних моделей.

Поясніть, що жодна модель не є ідеальною копією реальності та має свою область застосування, в якій вона є найбільш ефективною.

Заохочуйте учнів ставити запитання та критично оцінювати моделі.

Запропонуйте учням обговорити, як можна покращити існуючі моделі або створити нові.

Поясніть, що наука постійно розвивається, і моделі також удосконалюються з часом.

Фізичні та математичні моделі класифікуються за різними критеріями, такими як метод побудови, рівень абстракції, характер змінних чи спосіб подання даних.

Фізичні моделі можна розділити на експериментальні та аналогові.

Експериментальні моделі – це фізичні моделі, які використовуються для вивчення реальних процесів у контрольованих умовах. Вони дозволяють перевіряти гіпотези, аналізувати поведінку об’єктів і прогнозувати можливі результати за допомогою практичних випробувань.

Прикладом експериментальних фізичних моделей є макети літаків, автомобілів, поїздів, зменшені копії споруд, що тестуються на спеціальних стендах, лабораторні експерименти на клітинах, моделі систем теплопередачі, камери кліматичних випробувань, що імітують різні атмосферні умови тощо.

Аналогові моделі – це фізичні моделі, які відображають властивості та поведінку систем чи явищ, характеризуючись фізичною подібністю до оригіналу та можливістю експериментального дослідження. Вони мають переваги у наочності, експериментальній доступності та відносній простоті, але мають обмежену точність, складність масштабування та обмежену універсальність. Прикладами є моделі для вивчення потоків рідин, електричні моделі для аналізу електричних схем, модель Сонячної системи тощо.

Математичні моделі можна поділити на емпіричні, аналітичні та чисельні.

Емпіричні моделі – ґрунтуються на фактичних даних, отриманих через спостереження або експерименти, і не спираються на фізичні закони. Їхня технологія побудови полягає у зборі великих обсягів даних, їх обробці та використанні статистичних методів для встановлення кореляцій. Такі моделі застосовуються в ситуаціях, де пряме вимірювання чи теоретичний аналіз складний або неможливий. Перевагами емпіричних моделей є їх простота у використанні та точність для конкретних умов, в яких вони створювалися. Однак, вони мають і недоліки, такі як відсутність глибокого розуміння механізмів явища та обмеженість застосування лише в межах отриманих даних. Прикладом емпіричних моделей є закон тертя, сила опору повітря, теплопровідність.

Аналітичні моделі – описують систему через математичні рівняння, що враховують фізичні закономірності. Вони дають точні результати для певних систем і допомагають краще зрозуміти фізичні процеси, але можуть бути занадто спрощеними для складних систем. Наприклад закон Ома для опису електричних ланцюгів, рівняння Ньютона для розрахунку руху тощо.

Чисельні моделі – використовують для наближеного розв’язку складних математичних рівнянь, але недоліками є високі вимоги до обчислювальних ресурсів і наближеність рішень.

3. Практичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 20 хв.

Дослідження може бути проведено як демонстраційний дослід учителя за активного долучення учнів до обговорення.

Завдання № 1

Проаналізувати фізичний процес нагрівання води в посудині при спалюванні палива (сухе паливо) та створити його модель: фізичну та математичну.

Джерело: https://gemini.google.com/

Назва процесу (явища):

________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь: Нагрівання води при спалюванні сухого палива.

Опис явища:

Відповідь: При згорянні сухого палива виділяється теплова енергія (теплота), яка передається воді (теплообмін). В результаті температура води підвищується.

Фізична модель:

Базується на:

________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь: на принципі теплопередачі.

Основні процеси:

Відповідь: горіння палива, передача тепла через випромінювання та конвекцію від палива до посудини, нагрівання посудини, передача тепла від посудини до води теплопровідністю через контакт між гарячими стінками та рідиною, нагрівання води та підвищення її температури.

Математична модель:

Базується на:

Відповідь: законі збереження енергії, рівнянні теплового балансу. Якщо знехтувати втратами тепла та ідеалізувати умови, то кількість тепла, що отримала вода, дорівнює кількості тепла, що виділилося при згорянні палива.

Формула кількості теплоти, яку отримує вода при нагріванні:

Відповідь:

(2) $\begin{equation*} Q_s = m_s \cdot c_s \cdot \Delta T \end{equation*}$

де Q – кількість отриманого теплa, Дж, m_в – маса води, кг, c_в – питома теплоємність води, ΔT – зміна температури води, °C.

Формула кількості теплоти, що виділяється під час згоряння палива:

Відповідь:

(3) $\begin{equation*} Q_{\text{гор}} = q \cdot m_n \end{equation*}$

де q – питома теплота згоряння палива, Дж/кг, m_п– маса палива, кг.

Переваги:

Відповідь: наочність фізичних процесів, простота розрахунків.

Обмеженість:

Відповідь: не враховує втрати тепла в навколишнє середовище, що знижує точність.

Можливості вдосконалення моделі:

Відповідь: урахування теплових втрат та ефективності теплообміну.

Завдання № 2

Проаналізувати фізичний процес притягання двох заряджених кульок, підвішених поряд на нитках та створити його модель: фізичну та математичну.

Джерело: https://gemini.google.com/

Назва процесу (явища):

Відповідь: взаємодія заряджених кульок (електричних зарядів) відповідно до закону Кулона.

Опис явища:

Відповідь: електричні заряди взаємодіють між собою з певною силою, яка залежить від величини зарядів та відстані між ними. Однойменні заряди відштовхуються, а різнойменні – притягуються. Ця сила визначається законом Кулона.

Фізична модель:

Базується на:

Відповідь: існуванні електричного поля та його впливі на заряджені тіла, законі Кулона.

Основні процеси:

Відповідь: створення електричних зарядів кульок (електризація тіл), взаємодія кульок (зарядів) через електричне поле, що створюється навколо зарядів, дія сили Кулона, що залежить від величини зарядів та відстані між ними.

Математична модель:

Базується на:

Відповідь: законі Кулона, що визначає співвідношення між силою, зарядом і відстанню.

Формула сили взаємодії між двома зарядами (закон Кулона):

Відповідь:

(4) $\begin{equation*} F = k \cdot \frac{ |q_1| \cdot |q_2| }{ r^2 } \end{equation*}$

де F – сила взаємодії між зарядами, Н,
k – коефіцієнт пропорційності (кулонівська стала 9×10⁹Н·м²/Кл²),
q₁, q₂ – величини електричних зарядів, Кл, r – відстань між зарядами, м.

Переваги:

Відповідь: достатньо проста для розрахунків, відповідає експериментальним даним.

Обмеженість:

Відповідь: не враховує вплив середовища (у вакуумі закон діє ідеально, але в реальних умовах є вплив діелектрика), вплив інших електричних полів.

Можливості вдосконалення моделі:

Відповідь: врахування електричних властивостей середовища (діелектричної проникності середовища) та інших точкових зарядів, що створюють сторонні електричні поля.

4. Попрактикуймо самостійно

Дружня порада вчителю

Тривалість до 5 хв.

Запропонуйте учням групове завдання створення фізичної та математичної моделі.

Група № 1 створює просту фізичну модель.

Група № 2 створює просту математичну модель.

Завдання № 1

Група № 1 Створення фізичної моделі «Сонячне затемнення»

Мета: візуально продемонструвати механізм сонячного затемнення, показуючи взаємне розташування Сонця, Місяця та Землі.

Матеріали:

Лампа, яскравий ліхтарик (Сонце).
Маленький м’яч або куля (Місяць).
Більший м’яч (Земля).

Інструкція:

1. Розташування об’єктів:

Відповідь: розташуйте Землю (великий м’яч) на певній відстані від Сонця (ліхтарик). Місяць (маленький м’яч) розташуйте між Землею та Сонцем. Важливо розташувати всі три об’єкти на одній прямій лінії.

2. Демонстрація затемнення:

Відповідь: увімкніть ліхтарик (Сонце). Повільно переміщуйте Місяць (маленький м’яч) між Землею та Сонцем. Спостерігайте, як тінь від Місяця падає на Землю.

3. Пояснення:

Відповідь: поясніть, що сонячне затемнення відбувається, коли Місяць опиняється між Землею та Сонцем, закриваючи сонячне світло.

Завдання № 1

Група № 2 Створення математичної моделі руху автомобіля з постійною швидкістю на основі наданих даних

Мета: створити математичну модель, яка описує залежність пройденої відстані від часу.

Постановка задачі: Автомобіль рухається з постійною швидкістю. Відомо, що за 1 годину він проїхав 100 км, за 2 години – 200 км, а за 3 години – 300 км.

1. Аналіз даних:

Завдання № 1

Група № 2

Створення математичної моделі руху автомобіля з постійною швидкістю на основі наданих даних

Мета: створити математичну модель, яка описує залежність пройденої відстані від часу.

Постановка задачі:

Автомобіль рухається з постійною швидкістю. Відомо, що за 1 годину він проїхав 100 км, за 2 години – 200 км, а за 3 години – 300 км.

1. Аналіз даних:

Відповідь: бачимо, що пройдена відстань прямо пропорційна часу. Це означає, що швидкість автомобіля є постійною.

2. Швидкість автомобіля:

Відповідь: можна обчислити, розділивши пройдену відстань на час

(5) $\begin{equation*} v = \frac{S}{t} = \frac{100\ \text{км}}{1\ \text{год}} = 100\ \text{км/год} \end{equation*}$

3. Створення математичної моделі:

Відповідь: оскільки швидкість постійна, ми можемо використовувати просту лінійну залежність (функцію) для опису руху: відстань (S) = швидкість (v) помножена на час (t), S=v×t. У нашому випадку швидкість v = 100 км/год, тому модель виглядає S = 100×t

5. Рефлексія

Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв.

На уроці я зрозумів …
На уроці найцікавішим було дізнатися про …
На уроці мені було найважче …
У мене виникло запитання …

У вільний від відпочинку час

Дружня порада вчителю

Відео можна використати як домашнє завданням. Після перегляду відео учням потрібно тезісно дати відповіді на пропоновані питання

Проглянь відео https://youtu.be/5_UENl_Kp3U?feature=shared

Відео

Дайте відповіді на питання:

Що з відео можна описати як фізичну модель?

Що з відео можна описати як математичну модель?

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 4. Фізичні та математичні моделі

Очікувані результати навчання

Очікувані результати для учнівства:

учні можуть пояснити, що таке фізичні та математичні моделі своїми словами.
вміють розрізняти основні типи моделей (експериментальні, аналогові, емпіричні, аналітичні, чисельні) та пояснити їхні особливості
наводять конкретні приклади фізичних та математичних моделей
застосовують отримані знання для аналізу та побудови моделей у практичних завданнях
можуть аргументувати вибір певної моделі для дослідження явища

Ключові слова:

моделювання
фізичні моделі
математичні моделі
емпіричні моделі
чисельні методи

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Визначення поняття фізичних та математичних моделей
2.2. Основні типи моделей
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Чому моделювання важливе в науці та техніці?

Джерело: https://gemini.google.com/

Як фізичні моделі допомагають в інженерному проєктуванні будівель?

Джерело: https://gemini.google.com/

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/5wI5fUWswPE?feature=shared

Відео

https://youtu.be/sYbgn8N0Qpw?feature=shared

Відео

2. Теоретичний блок

2.1. Визначення поняття фізичних та математичних моделей

Фізичні та математичні моделі є потужними інструментами для аналізу та дослідження різних об’єктів і явищ.

Порівняння фізичних та математичних моделей

Характеристика	Фізичні моделі	Математичні моделі
Визначення	Реальні об’єкти, які відтворюють властивості досліджуваного явища або процесу	Абстрактні представлення явищ або процесів у вигляді математичних формул, рівнянь, алгоритмів
Універсальність	Часто обмежені конкретним явищем або процесом	Можуть бути більш універсальними, застосовуватися до різних галузей
Використання	Випробування, демонстрація, навчання	Прогнозування, аналіз, оптимізація
Приклади	Макет літака в аеродинамічній трубі, модель молекули ДНК, модель атома	Рівняння стану ідеального газу, закони руху планет, модель поширення епідемії, прогноз погоди
Переваги	Наочність, можливість експериментального дослідження	Гнучкість, можливість моделювання складних процесів
Недоліки	Обмежена точність, висока вартість, складність масштабування	Абстрактність, необхідність математичних знань, складність перевірки

2.2. Основні типи моделей

Фізичні моделі можна розділити на експериментальні та аналогові.

Математичні моделі можна поділити на емпіричні, аналітичні та чисельні.

3. Практичний блок

Завдання № 1

Джерело: https://gemini.google.com/

Назва процесу (явища):

________________________________________________________________________________________________________________________________

Опис явища:

Фізична модель:

Базується на:

Основні процеси:

Математична модель:

Базується на:

Формула кількості теплоти, яку отримує вода при нагріванні:

Формула кількості теплоти, що виділяється під час згоряння палива:

Переваги:

Обмеженість:

Можливості вдосконалення моделі:

Завдання № 2

Джерело: https://gemini.google.com/

Назва процесу (явища):

Опис явища:

Фізична модель:

Базується на:

Основні процеси:

Математична модель:

Базується на:

Формула сили взаємодії між двома зарядами (закон Кулона):

Переваги:

Обмеженість:

Можливості вдосконалення моделі:

4. Попрактикуймо самостійно

Завдання № 1

Група № 1 Створення фізичної моделі «Сонячне затемнення»

Матеріали:

Лампа, яскравий ліхтарик (Сонце).
Маленький м’яч або куля (Місяць).
Більший м’яч (Земля).

Інструкція:

1. Розташування об’єктів:

2. Демонстрація затемнення:

3. Пояснення:

Завдання № 1

Група № 2 Створення математичної моделі руху автомобіля з постійною швидкістю на основі наданих даних

Мета: створити математичну модель, яка описує залежність пройденої відстані від часу.

1. Аналіз даних:

Завдання № 1

Група № 2

Створення математичної моделі руху автомобіля з постійною швидкістю на основі наданих даних

Мета: створити математичну модель, яка описує залежність пройденої відстані від часу.

Постановка задачі:

1. Аналіз даних:

2. Швидкість автомобіля:

3. Створення математичної моделі:

5. Рефлексія

На уроці я зрозумів …
На уроці найцікавішим було дізнатися про …
На уроці мені було найважче …
У мене виникло запитання …

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

У вільний від відпочинку час

Проглянь відео https://youtu.be/5_UENl_Kp3U?feature=shared

Відео

Дайте відповіді на питання:

Що з відео можна описати як фізичну модель?

Що з відео можна описати як математичну модель?

Завантажити матеріал (PDF)

Ділись та обговорюй важливе