Тема 0. Аксіоми стереометрії та їх найпростіші наслідки

матеріал 1

Урок-практикум. Розв’язування задач. Застосування аксіом стереометрії та їх найпростіших наслідків.

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

План уроку

1. Розв’язування найпростіших задач на доведення.

2. Розв’язування задач на застосування стереометрії при вивченні властивостей предметів, що оточують людину.

3. Побудова найпростіших перерізів многогранників.

4.Тестування.

Очікувані результати навчальних досягнень.

Учень/учениця:

– розпізнає неповну і надлишкову інформацію, маніпулювання даними, визначає надійність джерел [12 МАО 1.2.1-2]

– інтерпретує, аналізує, систематизує дані та зв’язки між ними [12 МАО 1.2.2-1];

– оцінює достовірність даних [12 МАО 1.2.2-2];

– подає дані та зв’язки між ними в різних формах [12 МАО 1.2.2-3];

– самостійно або в співпраці з іншими будує математичну модель проблемної ситуації, доречно добирає математичні засоби для побудови моделі [12 МАО 2.3.2-1];

– досліджує та доводить математичні твердження [12 МАО 4.1.2-2].

Загальні поради вчителю до уроку.

1) Теорію подавайте стисло, акцентуйте увагу (коли можливо) на її практичному застосуванні.

2) До теоретичних тверджень наведено ілюстративні приклади. Обирайте ілюстративні приклади на свій розсуд.

3) Увесь запропонований матеріал неможливо подати в часових вимірах одного уроку, тому обирайте кількість матеріалу на ваш розсуд.

4) Перерізи многогранників пропонуйте учням/ученицям у межах доцільності. Різнорівневі завдання на побудову перерізів запропоновано.

5) Проведіть тестування як навчальне або діагностичне. Два варіанти тестів запропоновано.

6) Останні блоки уроку, а саме, розв’язування практичної задачі, та тренувальні вправи пропонуйте у межах часових можливостей уроку.

7) Мотивуйте учнів/учениць до проєктної діяльності. Можливі теми для створення проєктів запропоновані.

І. Організаційна частина.

Поради вчителю.

Запропонуйте учням/ученицям мотиваційні запитання щодо матеріалу уроку. Запитання можна лише сформулювати, а відповіді на них давати поступово в процесі викладення матеріалу.

Мотиваційні запитання.

1) Чи знаєте ви, що перерізи використовуються при МРТ у медицині?

2) Чи можливо за допомогою одного перерізу зрозуміти форму об’ємного перерізу?

3) Уявіть, що ви житель двомірного світу. Як би ви бачили наприклад, куб, що проходить через площину у якій ви живете?

4) Чи допомагають знання про найпростіші перерізи многогранників у дизайні упаковок або при виготовленні 3D-пазлів?

5) Яким чином 3D принтери створюють складні об’ємні об’єкти?

ІІ. Повторення (Усно).

1. Скільки всього різних площин можна провести через усі три вершини трикутника?Відповідь. Безліч.

2. Укажіть усі правильні твердження.

I. Якщо три вершини квадрата лежать у деякій площині, то і четверта його вершина лежить у цій площині.

II. Через п’ять точок, які лежать на одній прямій, можна провести площину.

III. Дві сусідні вершини ромба і центр кола, вписаного в цей ромб, не лежать в одній площині.

Відповідь. І і ІІ.

3. Укажіть пряму перетину площин ABC і AA₁D₁

Відповідь. AD.

4. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁(див. рисунок до завдання 3). У площинах яких граней лежить пряма C₁D₁?

Відповідь. DCC₁D₁, A₁B₁C₁D₁.

5. Чи правильне твердження: «Якщо дві точки променя OA належать площині α, то промінь OA лежить у площині α.

Відповідь. Так.

Поради вчителю.

Сформулюйте практичну задачу (без розв’язання). Розв’язання пропонуємо у вигляді групової роботи наприкінці уроку.

Як я вирішую певну проблему?

Задача. Дизайнер проектує скляний ліхтар, що має форму прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (див. рисунок). У середині цього ліхтаря планується встановити плоске дзеркало у вигляді перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину B₁ цього паралелепіпеда, середину бічного ребра CC₁, та середину ребра основи AD. Побудуйте цей переріз та укажіть форму многокутника перерізу.

ІІІ. Розв’язування найпростіших задач на доведення.

Нагадаємо основні аксіоми і теореми, які використовуються на початку вивчення стереометрії у найпростіших задачах на доведення.

Аксіома С₁. Для будь-якої площини простору існує точка, яка їй не належить.

Аксіома С₂. Якщо дві точки прямої належать площині, то й уся пряма належить цій площині.

Аксіома С₃. Через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж тільки одна.

Аксіома С₄. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка містить цю точку.

Т_1. Через пряму і точку, яка їй не належить, проходить площина, і до того ж тільки одна.

Т₂. Через дві прямі, які перетинаються, проходить площина, і до того ж тільки одна.

Приклад 1. Доведіть, що всі прямі, які перетинають дві бісектриси трикутника і не проходять через точку їх перетину, лежать із ними в одній площині.

Доведення.

1) Через вершини трикутника проведемо площину α (аксіома С₃).

2) Бісектриса трикутника це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони, тому прямі, що містять бісектриси трикутника належать площині α (аксіома С₂).

3) Довільна пряма, що перетинає дві бісектриси трикутника і не проходить через точку їх перетину має дві спільні точки із площиною α, тому лежить у цій площині (аксіома С₂).

Що й треба було довести.

Приклад 2. Пряма AK і точки B і L не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі AK і BL не перетинаються.

Доведення.

Припустимо, що прямі AK і BL перетинаються. Тоді за теоремою Т₂ через ці прямі проходить площина і до того ж тільки одна. Оскільки усі точки прямих AK і BL належать цій площині, то пряма AK і точки B і L лежать в одній площині, що суперечить умові задачі. Отримане протиріччя доводить, що прямі AK і BL не перетинаються.

Ілюстративні приклади.

5 хв.

6. Вершини K і L трикутника KLM лежать по один бік від площини α, а вершина M – по інший. Доведіть, що точки перетину сторін KM і LM та бісектриси MN із площиною α лежать на одній прямій.

Доведення.

1) Через вершини трикутника KLM проведемо площину β. Така площина існує, причому єдина (аксіома С₃).

2) Площини α і β мають спільні точки, за умовою це точки перетину сторін KM і LM та бісектриси MN із площиною α.

3) За аксіомою C₄ усі спільні точки площин α і β лежать на одній прямій. Що й треба було довести.

7. Площини α і β перетинаються по прямій a. Пряма m належить площині α, пряма n – площині β. Відомо, що прямі m і n перетинаються в точці K. Доведіть, що точка K належить прямій a.

Доведення.

$1)\left(m\cap n=K\right)\Rightarrow K\in miK\in n$

$2)\left(K\in m,m\subset\alpha\right)\Rightarrow K\in\alpha$

$\left(K\in n,n\subset\beta\right)\Rightarrow K\in\beta$

$3)\left(\alpha\cap\beta=a,K\in\alpha,K\in\beta\right)\Rightarrow K\in a\left(аксіомаС_4\right)$

$\begin{align*}1)\quad & (m\cap n=K)\Rightarrow K\in m\land K\in n,\\ 2)\quad & K\in m,\ m\subset\alpha\Rightarrow K\in\alpha,\\ & K\in n,\ n\subset\beta\Rightarrow K\in\beta,\\ 3)\quad & \alpha\cap\beta=a,\ K\in\alpha,\ K\in\beta\Rightarrow K\in a\quad\text{(аксіома C\textsubscript{4})}.\end{align*}$

$\begin{array}{ll}\textbf{Доведення.} & \\ 1) & (m\cap n=K)\Rightarrow K\in m\land K\in n,\\ 2) & K\in m,\ m\subset\alpha\Rightarrow K\in\alpha,\\ & K\in n,\ n\subset\beta\Rightarrow K\in\beta,\\ 3) & \alpha\cap\beta=a,\ K\in\alpha,\ K\in\beta\Rightarrow K\in a\quad\text{(аксіома C\textsubscript{4})}.\end{array}$

$\begin{aligned} 1)\quad & (m \cap n = K) \Rightarrow K \in m \land K \in n \\ 2)\quad & K \in m,\ m \subset \alpha \Rightarrow K \in \alpha, \\ & K \in n,\ n \subset \beta \Rightarrow K \in \beta \\ 3)\quad & \alpha \cap \beta = a,\ K \in \alpha,\ K \in \beta \Rightarrow K \in a \quad \text{(аксіома C\_4)}. \end{aligned}$

IV. Задачі на застосування стереометрії при вивченні властивостей предметів, що оточують людину.

Сформулюємо декілька практичних задач, при розв’язуванні яких використовуються аксіоми стереометрії та їх найпростіші наслідки.

1. Чому стілець із трьома ніжками стоїть на підлозі стійко, а стіл з чотирма ніжками — не завжди? (Аксіома С₃).

2. Чому для розмітки котловану під невелику будівлю користуються натягнутим шнуром? (Аксіома С₄).

3. Штативи багатьох інструментів (фотоапарата, нівеліра, теодоліта) виготовлені у вигляді триноги. Поясніть чому саме використовують триногу? (Аксіома С₃).

4. Тесля виготовляє стіл. Як перевірити рівність поверхні стола за допомогою лінійки? Поясніть відповідь. (Аксіома С₂).

5. Столяр за допомогою двох ниток перевіряє, чи буде стійким на рівній підлозі виготовлений стілець, що має чотири ніжки. Як для цього треба натягнути нитки? На яке теоретичне положення спирається така перевірка? (Теорема Т₂).

6. Щоб поверхня розпилу чотирикутної балки була плоскою, тесля робить так: позначає на ребрі балки точку A та проводить від неї у потрібному напрямі дві прямі AB і AC у суміжних площинах поверхні балки. А далі він скеровує пилку по намічених прямих. Поясніть, чому у такий спосіб одержимо плоску поверхню розпилу. (Теорема Т₂).

7. Чому незамкнені двері вільно рухаються, а замкнені знаходяться в одному положенні. (Теорема Т₁).

V. Побудова найпростіших перерізів многогранників.

Нагадаємо, що многокутник, який є спільною частиною площини й многогранника – називають перерізом многогранника, при цьому площину називають січною площиною.

Перерізи многогранника мають задовольняти умовам 1) – 3).

1) Будь-який переріз многогранника є многокутником.

2) Усі вершини перерізу належать ребрам многогранника.

3) Усі сторони перерізу належать граням многогранника.

Найбільш розповсюдженим методом побудови перерізів многогранників є так званий метод слідів.

Слідом січної площини називається пряма, по якій ця площина перетинає площину грані многогранника (див. рисунок).

На рисунку зображено HGL – переріз чотирикутної призми ABCDA₁B₁C₁D₁. Пряма XY – слід січної площини на площину грані ABCD.

Ілюстративні приклади.

5 – 7 хв.

8. Побудуйте переріз паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, заданою точкою M, яка належить ребру AA₁ і прямою a, що лежить у площині нижньої основи і не перетинає її (див. рисунок).