Тема 1. Тема 1

матеріал 4

Космічні швидкості. Закони Кеплера

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 61. Космічні швидкості. Закони Кеплера

Очікувані результати навчання

формулює самостійно або у співпраці з іншими проблему дослідження [12 ПРО 1.1.1]
створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12 ПРО 1.4.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими висновки за результатами досліджень та обґрунтовує їх [12 ПРО 1.5.2]
планує, здійснює пошук, опрацьовує, порівнює, аналізує, оцінює самостійно або у співпраці з іншими надійність джерел і достовірність інформації для розв’язання життєвої/навчальної проблеми [12 ПРО 2.1.1]
порівнює, аналізує самостійно або у співпраці з іншими природні і техногенні об’єкти, явища і процеси на основі наукових методів пізнання та законів природи [12 ПРО 3.1.1]
установлює та обґрунтовує самостійно або у співпраці з іншими взаємозв’язки між природними, техногенними об’єктами, закономірності явищ природи [12 ПРО 3.3.1]
визначає самостійно або у співпраці з іншими аргументи/твердження, теорії, що ґрунтуються на наукових фактах і доказах [12 ПРО 4.1.1]
ідентифікує, формулює та аналізує самостійно або у співпраці з іншими життєву/навчальну проблему [12 ПРО 4.2.1]

Мета уроку: сформувати в учнів цілісне уявлення про поняття космічних швидкостей та закони руху планет. Розвивати логічне мислення, здатність до аналізу фізичних залежностей та уміння застосовувати закони до різних життєвих ситуацій.

Очікувані результати для вчителя:

учні пояснюють, що таке перша, друга і третя космічні швидкості;
наводять приклади застосування космічних швидкостей;
називають та розуміють три закони Кеплера;
застосовують закони Кеплера для аналізу руху планет і штучних супутників;
виконують розрахунки з використанням формул для космічних швидкостей.

Очікувані результати для учнівства:

учні називають та розрiзняють першу, другу і третю космiчнi швидкостi;
пояснюють їхнiй фiзичний змiст на основi законiв Ньютона;
формулюють i пояснюють 3 закони Кеплера;
аналiзують рух планет, супутникiв та штучних апаратiв;
розв’язують задачi різного рівня складності на застосування космiчних швидкостей.

Ключові слова:

космiчна швидкiсть
орбiтальний рух
гравiтацiя
закон тяжiння
закони Кеплера
фокус орбiти
супутник
орбiта

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Космічні швидкості
2.2. Закони Кеплера
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Дружня порада вчителю

Тривалість: до 3 хв

Проблемне питання

Чому будь-яка ракета не може просто злетіти в космос і не впасти назад?

Джерело: https://images.nasa.gov/details/81pc0382

Відповідь:

Ракета не може просто злетіти в космос і не впасти назад, тому що для цього недостатньо лише піднятися на велику висоту – потрібно ще набути достатньої швидкості. Сила тяжіння Землі продовжує діяти на тіло навіть у космосі, тому якщо ракета не досягає певної швидкості, вона сповільнюється і зрештою падає назад.

Як рухаються планети навколо Сонця?

Джерело: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/InnerSolarSystem-uk.png

Відповідь:

Планети рухаються навколо Сонця по еліптичних орбітах, у фокусі якої знаходиться Сонце. Такий рух описується законами Кеплера. Крім того, чим далі планета знаходиться від Сонця, тим довший її шлях і повільніше вона обертається – тому, наприклад, Юпітер робить один оберт за майже 12 земних років, а Нептун – за 165.

Чи можуть космічні апарати покинути Сонячну систему?

Джерело: https://www.livescience.com/

Відповідь:

Так, космічні апарати можуть покинути Сонячну систему, якщо вони досягнуть третьої космічної швидкості, – тобто достатньої швидкості, щоб подолати гравітаційне притягання не лише Землі, а й Сонця.

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/qeBWU5X_jGc?feature=shared

Відео

2. Теоретичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 25 хв.

Зверніть увагу учнів на те, що існує межа швидкості, яку потрібно досягти, щоб тіло залишило Землю чи Сонячну систему.

Акцентуйте на понятті першої, другої та третьої космічної швидкості. Поясніть зв’язок між гравітацією, масою планети та швидкістю.

Актуалізуючі питання:

Чому тіло, кинуте вертикально вгору, завжди падає назад?

Що станеться з тілом, яке рухається з першою космічною швидкістю?

Яке значення має друга космічна швидкість для польоту на Місяць?

Як працює закон збереження енергії при розрахунку другої космічної?

Чому швидкість залежить від маси Землі, але не від маси тіла?

Чим відрізняється друга швидкість від першої?

Чому третя швидкість вища за попередні?

Як гравітаційний маневр допоміг «Вояджеру-1» покинути Сонячну систему?

2.1. Космічні швидкості

Коли тіло перебуває біля планети, наприклад Землі, на нього діє сила тяжіння. Щоб тіло рухалося в космосі по певній траєкторії, йому потрібно надати певну початкову швидкість. Такі критичні швидкості називають космічними швидкостями.

Перша космічна швидкість (орбітальна) – це мінімальна горизонтальна швидкість, яку потрібно надати тілу біля поверхні Землі, щоб воно стало штучним супутником і рухалося по круговій орбіті навколо планети.

Другий закон Ньютона для тіла, що рухається по коловій орбіті навколо Землі та зазнає доцентрового прискорення, яке підтримується силою тяжіння:

(1) $\begin{equation*} F = \frac{m \cdot v^2}{R}\end{equation*}$

де m – маса тіла, кг, R – відстань від центра планети до тіла (радіус орбіти), м, v – лінійна швидкість тіла на орбіті, м/с.

Закон Всесвітнього тяжіння для тіла на або біля поверхні Землі:

(2) $\begin{equation*} F = G \frac{m \cdot M}{R^2}\end{equation*}$

де m – маса тіла, кг, M – маса Землі, м, R – відстань від центра планети до тіла (радіус орбіти), м, G – гравітаційна стала,

Прирівняємо:

(3) $\begin{equation*} \frac{m \cdot v^2}{R} = G \frac{m \cdot M}{R^2}\end{equation*}$

Скорочуємо масу m та радіус R:

(4) $\begin{equation*} v^2 = G \frac{M}{R}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} v_1 = \sqrt{g \cdot R}\end{equation*}$

перша космічна швидкість.

Для Землі v₁ $is approximately equal to$ 7,9 км/с.

Перший штучний супутник Землі – «Супутник-1», – отримав саме таку швидкість 4 жовтня 1957 року (див. рис. 1). Завдяки цьому він обертався навколо Землі по низькій орбіті.

*Рис. 1. Перший штучний супутник Землі «Супутник-1»*

Джерело: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/database/MasterCatalog?sc=1957-001B

Друга космічна швидкість – мінімальна швидкість, з якою тіло має рухатися з поверхні планети, щоб подолати гравітаційне тяжіння, вилетіти в космос, не повертаючись назад і не залишаючись на орбіті.

В основі – закон збереження повної механічної енергії:

(7) $\begin{gather*} \frac{m \cdot v^2}{2} = G \frac{m \cdot M}{R} \v^2 = 2G \frac{M}{R}\end{gather*}$

(8) $\begin{equation*} v_2 = \sqrt{2G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} v_2 = \sqrt{2} \cdot v_1\end{equation*}$

або

(10) $\begin{equation*} v_2 = \sqrt{2} \cdot v_1\end{equation*}$

друга космічна швидкість.

Для Землі v2 $is approximately equal to$ 11,2 км/с.

Космічний апарат «Луна-1», запущений 2 січня 1959 року, – перше штучне тіло, яке досягло другої космічної швидкості і залишило орбіту Землі, пролетівши повз Місяць на відстані близько 6000 км (див. рис. 2).

Джерело: https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%83%D0%BD%D0%B0-1

Третя космічна швидкість – це мінімальна швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно повністю подолало гравітаційне тяжіння Сонця і покинуло межі Сонячної системи, не переходячи на нову орбіту навколо нього.

Третя космічна швидкість відносно Сонця:

v3 $is approximately equal to$ 42,1 км/с.

Щоб покинути Сонячну систему із Землі, тілу потрібно подолати гравітацію Землі (v1 та v2) і мати загальну швидкість відносно Сонця не менше ніж v3.

Але Земля вже рухається навколо Сонця, тому космічний апарат з Землі має стартувати з швидкістю $is approximately equal to$ 27,8 км/с.

«Вояджер-1» – космічний апарат, запущений 5 вересня 1977 року, завдяки гравітаційним маневрам біля Юпітера і Сатурна першим набув третьої космічної швидкості у 2012 році та офіційно вийшов у міжзоряний простір, залишивши межі геліосфери – «пузиря» сонячного впливу (див. рис. 3).

Джерело: https://uk.wikipedia.org

Дружня порада вчителю

Поясніть учням різницю між круговою та еліптичною орбітою.

Продемонструйте за допомогою малюнків фокус, центр, перигелій і афелій.

Зверніть увагу учнів на важливості історичних спостережень Тихо Браге.

Актуалізуючі питання:

Які наслідки має рух по еліпсу для швидкості планети?

Чому орбіти планет – не ідеальні кола?

Де розташоване Сонце на орбіті планети?

Що таке перигелій та афелій?

Як змінюється відстань до Сонця протягом року?

Яка орбіта в Землі – близька до кола чи еліпса?

Що означає, що еліпс має два фокуси?

Як перший закон Кеплера спростовує античні уявлення?

Покажіть різні сегменти площ, які описує планета на різних ділянках орбіти.

Нагадайте учням що таке радіус-вектор.

Актуалізуючі питання:

Що таке радіус-вектор у контексті орбіти?

Чому площі однакові, якщо відстані різні?

Чи рух планети рівномірний? Чому?

У якій частині орбіти планета рухається повільніше?

Поясніть, як пов’язані період обертання та велика піввісь. Покажіть приклади для різних планет.

Актуалізуючі питання:

Що таке велика піввісь?

Як обчислити період, знаючи велику піввісь?

Чому закон називають «гармонійним»?

Яке фізичне значення має цей закон?

Як виглядає формула третього закону Кеплера?

Чому він універсальний для всіх планет?

Як порівняти орбіти Землі й Юпітера?

Чому цей закон важливий для астрономії?

Чи можна його застосовувати до супутників?

Який внесок у фізику зробив Кеплер цим законом?

2.2. Закони Кеплера

Йоганн Кеплер (1571-1630 р.) – німецький астроном, який понад 20 років аналізував рух планет і вивів емпіричні закони, що стали основою небесної механіки.

Закони Кеплера стали основою для Ньютона, який пізніше пояснив їх за допомогою закону Всесвітнього тяжіння.

Перший закон Кеплера – закон еліпсів.

До Кеплера вважали, що небесні тіла рухаються по ідеальних колах (ідея Арістотеля й Птолемея). Кеплер, аналізуючи спостереження Тихо Браге, встановив, що орбіти – еліпси, а не кола.

Це був рішучий розрив з уявленням про «досконалість» кругових орбіт в античній науці.

Формулювання:

«Кожна планета рухається по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої знаходиться Сонце».

Еліпс – це витягнута крива, що має дві фокусні точки (фокуси). У випадку руху планет один фокус зайнятий Сонцем, а другий залишається порожнім. Коли тіло (планета, комета або супутник) рухається по такій орбіті, відстань до Сонця постійно змінюється:

у перигелії – планета ближча до Сонця;
у афелії – планета далі.

Другий закон Кеплера – закон площ.

Формулювання:«Радіус-вектор планети (лінія, що з’єднує планету із Сонцем) за однакові проміжки часу описує однакові площі» (див. рис. 4):

(11) $\begin{equation*} \frac{s_1}{t_1} = \frac{s_2}{t_2} \implies \frac{s}{t} = \text{const}\end{equation*}$

*Рис. 4. Ілюстрація другого закону Кеплера*

Джерело: https://physic.cx.ua/zakoni-keplera/

Третій закон Кеплера – закон гармоній.

Цей закон пов’язує час, за який планета робить один оберт навколо Сонця (період), із розмірами її орбіти.

Формулювання:

«Квадрат періоду обертання планети навколо Сонця пропорційний кубу великої півосі її орбіти»:

(12) $\begin{equation*} T^2 \propto a^3\end{equation*}$

або у вигляді рівняння для двох планет:

(13) $\begin{equation*} \frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}\end{equation*}$

де T1, T2 – періоди обертання першої та другої планети у роках або секундах, a1, a2 – великі піввісь орбіт першої та другої планети у астрономічних одиницях або метрах.

Закон виконується не лише для планет, а й для супутників, астероїдів та комет.

3. Практичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 10 хв.

Завдання № 1

(Перша космічна швидкість для Мсяця)

Обчисліть першу космічну швидкість для штучного супутника, який обертається по коловій орбіті біля поверхні Місяця. Радіус Місяця 1,7410⁶ м, а прискорення вільного падіння на поверхні Місяця 1,62 м/с².

Відповідь:

(14) $\begin{equation*} v_1 = \sqrt{g \cdot R}\end{equation*}$

R=1,74106 м – радіус Місяця,

g = 1,62 м/с²– прискорення вільного падіння Місяця.

v1= 1678 м/с = 1,68 км/с

Завдання № 2

(Друга космічна швидкість Марса)

Космічному апарату потрібно залишити Марс і вийти за межі його гравітаційного поля. Визначте другу космічну швидкість для Марса. Маса Марса 6,421023 кг, а радіус 3,39106 м.

Відповідь:

(15) $\begin{equation*} v_2 = \sqrt{2G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

M = 6,421023 кг – маса Марса,

R=3,39106 м – радіус Марса,

G=6,674×10-11Н×м2кг2 – гравітаційна стала.

v2= 5025 м/с = 5,03 км/с

Завдання № 3

(Другий закон Кеплера)

Комета рухається еліптичною орбітою навколо Сонця. У точці, де вона найближче до Сонця, вона перебуває 10 діб і описує площу 5 млн км². Скільки діб вона буде перебувати в частині орбіти, де описує площу 10 млн км²?

Відповідь:

(16) $\begin{gather*} \frac{s_1}{t_1} = \frac{s_2}{t_2} \t_2 = \frac{s_2 \cdot t_1}{s_1}\end{gather*}$

S1 = 5 млн км²,

S2 = 10 млн км²,

t1 = 10 діб.

t2=20 діб

Завдання № 4

(Третій закон Кеплера)

Відомо, що велика піввісь орбіти Юпітера становить 5,2 астрономічні одиниці (а.о.). Знайдіть період обертання Юпітера навколо Сонця (в роках).

Відповідь:

(17) $\begin{gather*} T^2 = a^3 \T = \sqrt{a^3}\end{gather*}$

a = 5,2 а.о. – велика піввісь орбіти Юпітера.

Завдання № 5

(Третій закон Кеплера)

Велика піввісь орбіти Венери – 0,72 а.о., Марса – 1,52 а.о. У скільки разів довше Марс обертається навколо Сонця, ніж Венера?

Відповідь:

(18) $\begin{gather*} \frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3} \\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{a_2^3}{a_1^3} \\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{a_2^3}{a_1^3}} = \sqrt{\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3}\end{gather*}$

a1= 0,72 а.о. – велика піввісь орбіти Венери,

a2= 1,52 а.о. – велика піввісь орбіти Марса.

(19) $\begin{equation*} \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\left(\frac{1,52}{0,72}\right)^3} = \sqrt{(2,11)^3} = \sqrt{9,4} = 3,07\end{equation*}$

4. Попрактикуймо самостійно

Дружня порада вчителю

Тривалість до 5 хв.

Рівень А

Як зміниться перша космічна швидкість, якщо побудувати космодром на вершині високої гори?

Рівень В

Уявіть, що ви запускаєте супутник з поверхні астероїда. Які особливості потрібно врахувати при розрахунку космічної швидкості?
Якби на орбіті Землі не було атмосфери, як це вплинуло б на запуск та рух супутників?

Рівень С

У майбутньому планується колонізація Марса. Чому при зльоті з Марса друга космічна швидкість буде менше, ніж на Землі? Як це вплине на витрати пального?

Відповідь:

Рівень А

Якщо побудувати космодром на вершині високої гори, перша космічна швидкість дещо зменшиться. Це пояснюється тим, що формула для першої космічної швидкості включає відстань від центру Землі до точки запуску.

Рівень В

При розрахунку космічної швидкості для астероїда потрібно врахувати, що його маса та радіус набагато менші, ніж у планет. Це призводить до дуже малої гравітації, а отже, й низької першої космічної швидкості.
Якщо б атмосфери не було, запуски супутників були б значно ефективнішими – ракети витрачали б менше енергії на подолання опору повітря, не перегрівались би, і не потребували б складних теплових захистів. У космосі супутники могли б обертатися на менших висотах без гальмування атмосферою.

Рівень С

Друга космічна швидкість залежить від маси планети та її радіуса. Оскільки Марс має значно меншу масу та менший радіус, його гравітаційне поле слабше. Через це швидкість, необхідна для подолання тяжіння Марса (друга космічна), менша – приблизно 5 км/с проти 11,2 км/с на Землі. Це означає, що для запуску з Марса знадобиться менше енергії й пального, що суттєво спрощує технічну реалізацію міжпланетних польотів із Марса порівняно із Землею.

Рефлексія

Дружня порада вчителю

Тривалість до 2 хв.

Заохочуйте учнів бути чесними та відвертими у своїх роздумах.

«5 балів»

Оціни від 1 до 5 балів тезиси:

«Я можу пояснити, що таке перша, друга та третя космічні швидкості»

Твій бал _____

«Я можу пояснити, що таке перший, другий і третій закон Кеплера»

Твій бал _____

«Я вмію обчислювати значення космічних швидкостей для Землі або інших планет, використовуючи формули»

Твій бал _____

«Я розумію, як космічні швидкості пов’язані із запуском штучних супутників, польотами до Місяця та міжпланетними подорожами»

Твій бал _____

У вільний від відпочинку час

Дружня порада вчителю

Рекомендуйте цікаві відео для самостійного ознайомлення з подальшим його аналізом

Прогляньте відео https://youtu.be/rID5kV2aMsI?feature=shared та дайте відповідь на питання «Яку приблизну форму траєкторії має ракета при русі з першою, другою та третьою космічними швидкостями».

Відео

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 61. Космічні швидкості. Закони Кеплера

Очікувані результати навчання

Мета уроку: сформувати в учнів цілісне уявлення про поняття космічних швидкостей та закони руху планет. Розвивати логічне мислення, здатність до аналізу фізичних залежностей та уміння застосовувати закони до різних життєвих ситуацій.

Очікувані результати для учнівства:

учні називають та розрiзняють першу, другу і третю космiчнi швидкостi;
пояснюють їхнiй фiзичний змiст на основi законiв Ньютона;
формулюють i пояснюють 3 закони Кеплера;
аналiзують рух планет, супутникiв та штучних апаратiв;
розв’язують задачi різного рівня складності на застосування космiчних швидкостей.

Ключові слова:

космiчна швидкiсть
орбiтальний рух
гравiтацiя
закон тяжiння
закони Кеплера
фокус орбiти
супутник
орбiта

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Космічні швидкості
2.2. Закони Кеплера
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Чому будь-яка ракета не може просто злетіти в космос і не впасти назад?

Джерело: https://images.nasa.gov/details/81pc0382

Як рухаються планети навколо Сонця?

Джерело: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/InnerSolarSystem-uk.png

Чи можуть космічні апарати покинути Сонячну систему?

Джерело: https://www.livescience.com/

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/qeBWU5X_jGc?feature=shared

Відео

https://youtu.be/4Z2hqUsWl-4?feature=shared

Відео

https://youtu.be/Gxs6qFttRVk?feature=shared

Відео

https://youtu.be/KOcWFob_oVY?feature=shared

Відео

2. Теоретичний блок

2.1. Космічні швидкості

Коли тіло перебуває біля планети, наприклад Землі, на нього діє сила тяжіння. Щоб тіло рухалося в космосі по певній траєкторії, йому потрібно надати певну початкову швидкість. Такі критичні швидкості називають космічними швидкостями.

Перша космічна швидкість (орбітальна) – це мінімальна горизонтальна швидкість, яку потрібно надати тілу біля поверхні Землі, щоб воно стало штучним супутником і рухалося по круговій орбіті навколо планети.

Другий закон Ньютона для тіла, що рухається по коловій орбіті навколо Землі та зазнає доцентрового прискорення, яке підтримується силою тяжіння:

(20) $\begin{equation*} F = \frac{m \cdot v^2}{R}\end{equation*}$

де m – маса тіла, кг, R – відстань від центра планети до тіла (радіус орбіти), м, v – лінійна швидкість тіла на орбіті, м/с.

Закон Всесвітнього тяжіння для тіла на або біля поверхні Землі:

(21) $\begin{equation*} F = G \frac{m \cdot M}{R^2}\end{equation*}$

де m – маса тіла, кг, M – маса Землі, м, R – відстань від центра планети до тіла (радіус орбіти), м, G – гравітаційна стала,

Прирівняємо:

(22) $\begin{equation*} \frac{m \cdot v^2}{R} = G \frac{m \cdot M}{R^2}\end{equation*}$

Скорочуємо масу m та радіус R:

(23) $\begin{equation*} v^2 = G \frac{M}{R}\end{equation*}$

(24) $\begin{equation*} v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

(25) $\begin{equation*} v_1 = \sqrt{g \cdot R}\end{equation*}$

перша космічна швидкість.

Для Землі v₁ $is approximately equal to$ 7,9 км/с.

Перший штучний супутник Землі – «Супутник-1», – отримав саме таку швидкість 4 жовтня 1957 року (див. рис. 1). Завдяки цьому він обертався навколо Землі по низькій орбіті.

Джерело: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/database/MasterCatalog?sc=1957-001B

Друга космічна швидкість – мінімальна швидкість, з якою тіло має рухатися з поверхні планети, щоб подолати гравітаційне тяжіння, вилетіти в космос, не повертаючись назад і не залишаючись на орбіті.

В основі – закон збереження повної механічної енергії:

(26) $\begin{gather*} \frac{m \cdot v^2}{2} = G \frac{m \cdot M}{R} \v^2 = 2G \frac{M}{R}\end{gather*}$

(27) $\begin{equation*} v_2 = \sqrt{2G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

(28) $\begin{equation*} v_2 = \sqrt{2} \cdot v_1\end{equation*}$

або

(29) $\begin{equation*} v_2 = \sqrt{2} \cdot v_1\end{equation*}$

друга космічна швидкість.

Для Землі v2 $is approximately equal to$ 11,2 км/с.

Космічний апарат «Луна-1», запущений 2 січня 1959 року, – перше штучне тіло, яке досягло другої космічної швидкості і залишило орбіту Землі, пролетівши повз Місяць на відстані близько 6000 км (див. рис. 2).

Джерело: https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%83%D0%BD%D0%B0-1

Третя космічна швидкість – це мінімальна швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно повністю подолало гравітаційне тяжіння Сонця і покинуло межі Сонячної системи, не переходячи на нову орбіту навколо нього.

Третя космічна швидкість відносно Сонця:

v3 $is approximately equal to$ 42,1 км/с.

Щоб покинути Сонячну систему із Землі, тілу потрібно подолати гравітацію Землі (v1 та v2) і мати загальну швидкість відносно Сонця не менше ніж v3.

Але Земля вже рухається навколо Сонця, тому космічний апарат з Землі має стартувати з швидкістю $is approximately equal to$ 27,8 км/с.

«Вояджер-1» – космічний апарат, запущений 5 вересня 1977 року, завдяки гравітаційним маневрам біля Юпітера і Сатурна першим набув третьої космічної швидкості у 2012 році та офіційно вийшов у міжзоряний простір, залишивши межі геліосфери – «пузиря» сонячного впливу (див. рис. 3).

Джерело: https://uk.wikipedia.org

2.2. Закони Кеплера

Йоганн Кеплер (1571-1630 р.) – німецький астроном, який понад 20 років аналізував рух планет і вивів емпіричні закони, що стали основою небесної механіки.

Закони Кеплера стали основою для Ньютона, який пізніше пояснив їх за допомогою закону Всесвітнього тяжіння.

Перший закон Кеплера – закон еліпсів.

До Кеплера вважали, що небесні тіла рухаються по ідеальних колах (ідея Арістотеля й Птолемея). Кеплер, аналізуючи спостереження Тихо Браге, встановив, що орбіти – еліпси, а не кола.

Це був рішучий розрив з уявленням про «досконалість» кругових орбіт в античній науці.

Формулювання:

«Кожна планета рухається по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої знаходиться Сонце».

Еліпс – це витягнута крива, що має дві фокусні точки (фокуси). У випадку руху планет один фокус зайнятий Сонцем, а другий залишається порожнім. Коли тіло (планета, комета або супутник) рухається по такій орбіті, відстань до Сонця постійно змінюється:

у перигелії – планета ближча до Сонця;
у афелії – планета далі.

Другий закон Кеплера – закон площ.

Формулювання:«Радіус-вектор планети (лінія, що з’єднує планету із Сонцем) за однакові проміжки часу описує однакові площі» (див. рис. 4):

(30) $\begin{equation*} \frac{s_1}{t_1} = \frac{s_2}{t_2} \implies \frac{s}{t} = \text{const}\end{equation*}$

Джерело: https://physic.cx.ua/zakoni-keplera/

Третій закон Кеплера – закон гармоній.

Цей закон пов’язує час, за який планета робить один оберт навколо Сонця (період), із розмірами її орбіти.

Формулювання:

«Квадрат періоду обертання планети навколо Сонця пропорційний кубу великої півосі її орбіти»:

(31) $\begin{equation*} T^2 \propto a^3\end{equation*}$

або у вигляді рівняння для двох планет:

(32) $\begin{equation*} \frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}\end{equation*}$

де T1, T2 – періоди обертання першої та другої планети у роках або секундах, a1, a2 – великі піввісь орбіт першої та другої планети у астрономічних одиницях або метрах.

Закон виконується не лише для планет, а й для супутників, астероїдів та комет.

3. Практичний блок

Завдання № 1

(Перша космічна швидкість для Мсяця)

Обчисліть першу космічну швидкість для штучного супутника, який обертається по коловій орбіті біля поверхні Місяця. Радіус Місяця 1,7410⁶ м, а прискорення вільного падіння на поверхні Місяця 1,62 м/с².

Завдання № 2

(Друга космічна швидкість Марса)

Космічному апарату потрібно залишити Марс і вийти за межі його гравітаційного поля. Визначте другу космічну швидкість для Марса. Маса Марса 6,421023 кг, а радіус 3,39106 м.

Завдання № 3

(Другий закон Кеплера)

Комета рухається еліптичною орбітою навколо Сонця. У точці, де вона найближче до Сонця, вона перебуває 10 діб і описує площу 5 млн км². Скільки діб вона буде перебувати в частині орбіти, де описує площу 10 млн км²?

Завдання № 4

(Третій закон Кеплера)

Відомо, що велика піввісь орбіти Юпітера становить 5,2 астрономічні одиниці (а.о.). Знайдіть період обертання Юпітера навколо Сонця (в роках).

Завдання № 5

(Третій закон Кеплера)

Велика піввісь орбіти Венери – 0,72 а.о., Марса – 1,52 а.о. У скільки разів довше Марс обертається навколо Сонця, ніж Венера?

4. Попрактикуймо самостійно

Рівень А

Як зміниться перша космічна швидкість, якщо побудувати космодром на вершині високої гори?

Рівень В

Уявіть, що ви запускаєте супутник з поверхні астероїда. Які особливості потрібно врахувати при розрахунку космічної швидкості?
Якби на орбіті Землі не було атмосфери, як це вплинуло б на запуск та рух супутників?

Рівень С

У майбутньому планується колонізація Марса. Чому при зльоті з Марса друга космічна швидкість буде менше, ніж на Землі? Як це вплине на витрати пального?

Рефлексія

«5 балів»

Оціни від 1 до 5 балів тезиси:

«Я можу пояснити, що таке перша, друга та третя космічні швидкості»

Твій бал _____

«Я можу пояснити, що таке перший, другий і третій закон Кеплера»

Твій бал _____

«Я вмію обчислювати значення космічних швидкостей для Землі або інших планет, використовуючи формули»

Твій бал _____

«Я розумію, як космічні швидкості пов’язані із запуском штучних супутників, польотами до Місяця та міжпланетними подорожами»

Твій бал _____

У вільний від відпочинку час

Прогляньте відео https://youtu.be/rID5kV2aMsI?feature=shared та дайте відповідь на питання «Яку приблизну форму траєкторії має ракета при русі з першою, другою та третьою космічними швидкостями».

Відео

Завантажити матеріал (PDF)

Ділись та обговорюй важливе