Тема 1. Тема 1

матеріал 5

Розв’язування задач з теми «Закон Всесвітнього тяжіння. Космічні швидкості. Закони Кеплера»

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 62. Розв’язування задач з теми «Закон Всесвітнього тяжіння. Космічні швидкості. Закони Кеплера»

Очікувані результати навчання

створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12 ПРО 1.4.1]
опрацьовує та аналізує самостійно або у співпраці з іншими результати дослідження [12 ПРО 1.5.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими висновки за результатами досліджень та обґрунтовує їх [12 ПРО 1.5.2]
інтерпретує самостійно або у співпраці з іншими інформацію природничого змісту, представлену в різний спосіб [12 ПРО 2.2.2]
порівнює, аналізує самостійно або у співпраці з іншими природні і техногенні об’єкти, явища і процеси на основі наукових методів пізнання та законів природи [12 ПРО 3.1.1]
застосовує самостійно або у співпраці з іншими наукове знання і власний досвід для розв’язання життєвої/ навчальної проблеми [12 ПРО 4.3.2]

Мета уроку: сформувати в учнів цілісне розуміння закону Всесвітнього тяжіння, космічних швидкостей та законів Кеплера, навчити застосовувати їх у розв’язуванні тестових і розрахункових задач.

Очікувані результати для вчителя:

учні правильно формулюють закон Всесвітнього тяжіння та наводять приклади його прояву;
вміють пояснити, що таке перша, друга та третя космічні швидкості, і виконують розрахунки з ними;
застосовують закони Кеплера для визначення орбітальних параметрів планет і супутників;
виконують розрахункові задачі різного рівня складності;
можуть пояснити фізичну суть отриманих результатів і зробити висновки.

Очікувані результати для учнівства:

учні формулюють закон Всесвітнього тяжіння та пояснюють його фізичний зміст;
знають формули для першої, другої та третьої космічних швидкостей і розуміють їхнє практичне значення;
застосовують закони Кеплера для аналізу руху планет, супутників та інших небесних тіл;
уміють розв’язувати задачі з гравітації різної складності;
аналізують та інтерпретують реальні астрономічні явища на основі фізичних законів.

Ключові слова:

закон Всесвітнього тяжіння
маса тіла
гравітаційна стала
сила тяжіння
прискорення вільного падіння
космічні швидкості
закони Кеплера

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Дружня порада вчителю

Тривалість — до 3 хв.

До уроку можна добрати 2-3 питання за класом і рівнем підготовки.

Вони пробуджують інтерес і допитливість, активують критичне мислення через реальні приклади та актуальні ситуації.

Ці питання можна використати як вхідне опитування або «гарячу дискусію» в парах.

Проблемне питання

Як Земля утримує супутники на орбіті?
Чому планети рухаються по еліптичних орбітах, а не по колах?
Що буде з космічним кораблем, якщо він перевищить другу космічну швидкість?
Чому ми важимо менше на Місяці, ніж на Землі?
Чому існує обмеження швидкості для виходу з гравітаційного поля планети?
Чому різні планети мають різну першу космічну швидкість?
Як закони Кеплера допомагають передбачати рух комет?
Що буде, якщо змінити масу супутника?
Як впливає гравітація на час руху супутника навколо планети?
Що станеться з рухом планети, якщо раптово зміниться маса Сонця?

Відповідь:

Земля утримує супутники на орбіті завдяки гравітаційній силі, яка притягує їх до центру планети. Одночасно супутники мають достатню орбітальну швидкість, щоб не падати на Землю, а рухатися по кривій траєкторії навколо неї.
Через взаємодію гравітаційних сил і початкові умови руху планет їхні орбіти приймають еліптичну форму, яка є природною траєкторією тіл, а не ідеальним колом.
Якщо корабель перевищить другу космічну швидкість, він вийде з гравітаційного поля планети і продовжить рухатися у відкритому космосі, більше не повертаючись на орбіту чи на Землю.
У Місяця менша маса і слабше гравітаційне поле, тому сила тяжіння, яка діє на тіло, і вага людини на поверхні менша.
Щоб покинути гравітаційне поле планети, тілу необхідно набрати мінімальну швидкість, відому як друга космічна, яка забезпечує, що гравітація не зупинить його рух і воно не повернеться на планету.
Перша космічна швидкість залежить від маси та радіуса планети: чим більша маса або менший радіус, тим сильніше поле тяжіння і тим більшу швидкість потрібно розвинути.
Закони Кеплера дозволяють визначати форму орбіти комети, її період обертання навколо Сонця та швидкість у різних точках орбіти, що дає змогу прогнозувати, коли і де комета буде спостережувана з Землі.
Зміна маси супутника майже не впливає на його орбітальну швидкість чи форму орбіти, оскільки гравітаційна сила і рух по орбіті залежать переважно від маси планети та відстані до неї.
Гравітація визначає доцентрове прискорення супутника: сильніше поле або менша відстань до планети зменшують період обертання, а слабше поле або більша висота – збільшують його.
Якщо маса Сонця зміниться, сила тяжіння на планети зміниться, що призведе до зміни швидкості руху, форми орбіти або навіть до виходу планети з колишньої орбіти, оскільки рівновага між гравітацією і рухом буде порушена.

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/UatJzU4lgMo?feature=shared

Відео

https://youtu.be/mY-qhqsWrw4?feature=shared

Відео

2. Теоретичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість — до 5 хв.

Нагадайте учням основну теорію та розрахункові формули

Закон Всесвітнього тяжіння:

(1) $\begin{equation*}F = G \frac{m_1 \times m_2}{R^2}\end{equation*}$

де F – сила гравітаційної взаємодії, Н, G – гравітаційна стала, Н×м²/ кг², m₁, m₂ – маса тіл, кг, R – відстань між тілами, м.

Гравітаційна стала:

(2) $\begin{equation*}G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}\end{equation*}$

Перша космічна швидкість:

(3) $\begin{equation*}v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

або

(4) $\begin{equation*}v_1 = \sqrt{g \times R}\end{equation*}$

Для Землі

$v_1 \approx 7,9 \text{ км/с}$

Друга космічна швидкість:

(5) $\begin{equation*}v_2 = \sqrt{2G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

або

(6) $\begin{equation*}v_2 = \sqrt{2} \times v_1\end{equation*}$

де M – маса планети, м, R – відстань від центра планети до тіла (радіус орбіти), м, G – гравітаційна стала, Н×м2кг2, g – прискорення вільного падіння, м/с².

Для Землі

$v_ 2\approx 11,2\text{ км/с}$

Третя космічна швидкість:

$v_ 3\approx 42,1\text{ км/с}$

Перший закон Кеплера:

«Кожна планета рухається по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої знаходиться Сонце».

Другий закон Кеплера:

«Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує однакові площі»:

(7) $\begin{equation*}\frac{s_1}{t_1} = \frac{s_2}{t_2}\end{equation*}$

Третій закон Кеплера:

(8) $\begin{equation*}\frac{T_{1}^{2}}{a_{1}^{3}} = \frac{T_{2}^{2}}{a_{2}^{3}}\end{equation*}$

де T₁, T₂ – періоди обертання першої та другої планети у роках або секундах, a₁, a₂ – великі піввісь орбіт першої та другої планети у астрономічних одиницях або метрах.

3. Практичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість — до 30 хв.

Завдання з вибором правильної відповіді

Завдання № 1

Супутник рухається навколо Землі на малій висоті. Яка швидкість потрібна, щоб утримувати його на «круговій» орбіті?

А) 7,9 км/с;
Б) 7,9 м/с;
В) 11,2 км/с;
Г) 42,1 км/с.

Відповідь: А) 7,9 км/с

Завдання № 2

Який закон Кеплера пояснює, що планета рухається швидше, коли ближче до Сонця?

А) Перший;
Б) Другий;
В) Третій;
Г) Жоден.

Відповідь: Б) Другий

Завдання № 3

Велика піввісь другої планети в 4 рази більша, ніж у першої. У скільки разів довший її період обертання?

А) 2;
Б) 4;
В) 8;
Г) 16

Відповідь: В) 8

Завдання № 4

Прискорення вільного падіння на планеті визначається за формулою:

(9) $\begin{equation*}g = 2G \frac{M}{R} \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*}g = G \frac{M}{R} \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}g = G \frac{M^2}{R^2} \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}g = G \frac{M}{R^2} \end{equation*}$

Відповідь: Г

(13) $\begin{equation*}g = G \frac{M}{R^2} \end{equation*}$

Розрахункові задачі

Завдання № 5

Супутник масою 500 кг рухається на орбіті Землі радіусом 7*10⁶ м. Обчисліть швидкість руху супутника. Маса Землі 5,97*10²⁴ кг

Відповідь:

(14) $\begin{equation*} v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

M = 5,97×10²⁴ кг – маса Землі,

R=7×10⁶ м – радіус Землі,

G=6,67×10^-11(Н×м²)/кг²– гравітаційна стала;

Завдання № 6

Чому дорівнює прискорення вільного падіння на висоті, що дорівнює трьом радіусам Землі? Маса Землі 5,97×10²⁴ кг, а радіус 6,4×10⁶ м.

Відповідь:

(15) $\begin{equation*} g = G \frac{M}{(R + h)^2}\end{equation*}$

M = 5,97×10²⁴ кг – маса Землі,

R=6,4×10⁶ м – радіус Землі,

G=6,67×10^-11(Н×м²)/кг²– гравітаційна стала;

h=3R – висота.

(16) $\begin{equation*} g = G \frac{M}{(R + 3R)^2}\end{equation*}$

(17) $\begin{equation*} g = G \frac{M}{(4R)^2}\end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} g = G \frac{M}{16R^2}\end{equation*}$

Завдання № 7

Визначте прискорення вільного падіння на поверхні планети, якщо її маса 1,9×10²⁷ кг, а радіус 6,9×10⁶ м.

Відповідь:

(19) $\begin{equation*} g = G \frac{M}{R^2}\end{equation*}$

M = 1,9×10²⁷ кг – маса планети,

R=6,9×10⁶ м – радіус планети,

G=6,67×10^-11(Н×м²)/кг²– гравітаційна стала.

Завдання № 8

Комета рухається навколо Сонця по еліптичній орбіті, велика піввісь якої a = 27 астрономічних одиниць. Визначте період її обертання навколо Сонця. (1 а.о. =1,496×10¹¹ м – середня відстань від Землі до Сонця).

Відповідь:

(20) $\begin{equation*} \frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}\end{equation*}$

a₁=27 а.о. – велика піввісь орбіти комети;

a₂=1 а.о. – велика піввісь орбіти Землі (через майже кругову орбіту приблизно дорівнює середній відстані від Землі до Сонця);

T₂= 1 рік – період обертання Землі навколо сонця.

(21) $\begin{equation*} T_1^2 = \frac{a_1^3 \times T_2^2}{a_2^3}\end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} T_1 = \sqrt{\frac{a_1^3 \times T_2^2}{a_2^3}}\end{equation*}$

Завдання № 9

Установлення відповідності

Установіть відповідність між фізичною величиною (1-4) та формулою (А-Г), що їй відповідає:

Сила тяжіння між двома тілами
Прискорення вільного падіння на поверхні планети
Перша космічна швидкість
Друга космічна швидкість

(23) $\begin{equation*}v_1 = \sqrt{g \times R} \end{equation*}$

(24) $\begin{equation*}v_2 = \sqrt{2} \times v_1 \end{equation*}$

(25) $\begin{equation*}F = G \frac{m_1 \times m_2}{R^2} \end{equation*}$

(26) $\begin{equation*}g = G \frac{M}{R^2} \end{equation*}$

Відповідь: 1 – В 2 – Г 3 – А 4 – Б

Завдання № 10

Установіть відповідність між фізичною величиною (1-3) та зміною її значення (А-В):

Висота супутника збільшилася в 4 рази
Маса планети зменшилась у 9 разів, радіус залишився той самий
Відстань між двома тілами на орбіті зросла в 3 рази

А Прискорення вільного падіння зменшиться у 9 разів
Б Орбітальний період супутника збільшиться у 8 разів
В Сила тяжіння зменшиться у 9 разів

Відповідь: 1 – Б 2 – А 3 – В

4. Попрактикуймо самостійно

Дружня порада вчителю

Тривалість — до 5 хв.

Ситуація:

Малий супутник зв’язку масою 800 кг виводять на кругову низьку орбіту на висоті 300 км над поверхнею Землі. Маса Землі

5,97*10²⁴ кг, а радіус 6,4*10⁶ м.

Рівень А

Яке прискорення вільного падіння на висоті 300 км над поверхнею Землі?

Відповідь:

Прискорення вільного падіння:

(27) $\begin{equation*} g = G \frac{M}{(R + h)^2}\end{equation*}$

M = 5,97×10²⁴ кг – маса Землі;

R=6,4×10⁶ м – радіус Землі;

G=6,67×10^-11(Н×м²)/ кг²– гравітаційна стала;

h=300 км = 3×10⁵ м – висота над поверхнею Землі.

Рівень В

Яка перша космічна швидкість (швидкість супутника для кругової орбіти) на цій висоті?

Відповідь:

Швидкість супутника для кругової орбіти:

(28) $\begin{equation*} v_1 = \sqrt{g_h \times (R + h)}\end{equation*}$

Рівень С

Обчисліть довжину шляху, який він пройде за один повний оберт.

Відповідь:

Шлях при одному повному оберті (довжина кола):

(29) $\begin{equation*} L = 2 \times \pi \times (R + h)\end{equation*}$

L=2×3,14×(6,4×10⁶ м +3×10⁵ м)=4,2×10⁷ м

5. Рефлексія

Дружня порада вчителю

Тривалість до 2 хв.

Заохочуйте учнів бути чесними та відвертими у своїх роздумах

Що сьогодні було для мене легким?

⬜ Розраховувати прискорення вільного падіння на висоті

⬜ Знаходити першу космічну швидкість

⬜ Аналізувати взаємодію гравітаційної сили та руху

Що виявилось складним?

⬜ Визначити точну висоту орбіти для розрахунків

⬜ Пам’ятати формули для різних космічних швидкостей

⬜ Розуміти різницю між першою та другою космічною швидкістю

Як я працював(ла)?

⬜ Усе розв’язав(ла) самостійно

⬜ Потребував(ла) підказки вчителя / однокласника

⬜ Не зрозумів(ла) частину завдань

⬜ Працював(ла) уважно та впевнено

Оціни свою роботу (1-5): _____

У вільний від відпочинку час:

Дружня порада вчителю

Запропонуйте учням творче завдання у стилі компетентнісного підходу з акцентом на життєвий досвід учня

Створи власну фізичну задачу на гравітаційну взаємодію тіл, рух природних чи штучних супутників, космічних апаратів тощо.

Інструкція:

Опиши реальну або уявну ситуацію, де можна спостерігати дію закону Всесвітнього тяжіння, законів Кеплера чи реалізацію космічних швидкостей.
Сформулюй питання до ситуації (що треба знайти).
За бажанням – розв’яжи свою задачу.

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 62. Розв’язування задач з теми «Закон Всесвітнього тяжіння. Космічні швидкості. Закони Кеплера»

Робочий аркуш учнівства

Очікувані результати навчання

Мета уроку: сформувати в учнів цілісне розуміння закону Всесвітнього тяжіння, космічних швидкостей та законів Кеплера, навчити застосовувати їх у розв’язуванні тестових і розрахункових задач.

Очікувані результати для учнівства:

учні формулюють закон Всесвітнього тяжіння та пояснюють його фізичний зміст;
знають формули для першої, другої та третьої космічних швидкостей і розуміють їхнє практичне значення;
застосовують закони Кеплера для аналізу руху планет, супутників та інших небесних тіл;
уміють розв’язувати задачі з гравітації різної складності;
аналізують та інтерпретують реальні астрономічні явища на основі фізичних законів.

Ключові слова:

закон Всесвітнього тяжіння
маса тіла
гравітаційна стала
сила тяжіння
прискорення вільного падіння
космічні швидкості
закони Кеплера

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Як Земля утримує супутники на орбіті?
Чому планети рухаються по еліптичних орбітах, а не по колах?
Що буде з космічним кораблем, якщо він перевищить другу космічну швидкість?
Чому ми важимо менше на Місяці, ніж на Землі?
Чому існує обмеження швидкості для виходу з гравітаційного поля планети?
Чому різні планети мають різну першу космічну швидкість?
Як закони Кеплера допомагають передбачати рух комет?
Що буде, якщо змінити масу супутника?
Як впливає гравітація на час руху супутника навколо планети?
Що станеться з рухом планети, якщо раптово зміниться маса Сонця?

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/UatJzU4lgMo?feature=shared

Відео

https://youtu.be/mY-qhqsWrw4?feature=shared

Відео

2. Теоретичний блок

Закон Всесвітнього тяжіння:

(30) $\begin{equation*}F = G \frac{m_1 \times m_2}{R^2}\end{equation*}$

де F – сила гравітаційної взаємодії, Н, G – гравітаційна стала, Н×м²/ кг², m₁, m₂ – маса тіл, кг, R – відстань між тілами, м.

Гравітаційна стала:

(31) $\begin{equation*}G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}\end{equation*}$

Перша космічна швидкість:

(32) $\begin{equation*}v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

або

(33) $\begin{equation*}v_1 = \sqrt{g \times R}\end{equation*}$

Для Землі

$v_1 \approx 7,9 \text{ км/с}$

Друга космічна швидкість:

(34) $\begin{equation*}v_2 = \sqrt{2G \frac{M}{R}}\end{equation*}$

або

(35) $\begin{equation*}v_2 = \sqrt{2} \times v_1\end{equation*}$

де M – маса планети, м, R – відстань від центра планети до тіла (радіус орбіти), м, G – гравітаційна стала, Н×м2кг2, g – прискорення вільного падіння, м/с².

Для Землі

$v_ 2\approx 11,2\text{ км/с}$

Третя космічна швидкість:

$v_ 3\approx 42,1\text{ км/с}$

Перший закон Кеплера:

«Кожна планета рухається по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої знаходиться Сонце».

Другий закон Кеплера:

«Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує однакові площі»:

(36) $\begin{equation*}\frac{s_1}{t_1} = \frac{s_2}{t_2}\end{equation*}$

Третій закон Кеплера:

(37) $\begin{equation*}\frac{T_{1}^{2}}{a_{1}^{3}} = \frac{T_{2}^{2}}{a_{2}^{3}}\end{equation*}$

де T₁, T₂ – періоди обертання першої та другої планети у роках або секундах, a₁, a₂ – великі піввісь орбіт першої та другої планети у астрономічних одиницях або метрах.

3. Практичний блок

Завдання з вибором правильної відповіді

Завдання № 1

Супутник рухається навколо Землі на малій висоті. Яка швидкість потрібна, щоб утримувати його на «круговій» орбіті?

А) 7,9 км/с;
Б) 7,9 м/с;
В) 11,2 км/с;
Г) 42,1 км/с.

Завдання № 2

Який закон Кеплера пояснює, що планета рухається швидше, коли ближче до Сонця?

А) Перший;
Б) Другий;
В) Третій;
Г) Жоден.

Завдання № 3

Велика піввісь другої планети в 4 рази більша, ніж у першої. У скільки разів довший її період обертання?

А) 2;
Б) 4;
В) 8;
Г) 16

Завдання № 4

Прискорення вільного падіння на планеті визначається за формулою:

(38) $\begin{equation*}g = 2G \frac{M}{R} \end{equation*}$

(39) $\begin{equation*}g = G \frac{M}{R} \end{equation*}$

(40) $\begin{equation*}g = G \frac{M^2}{R^2} \end{equation*}$

(41) $\begin{equation*}g = G \frac{M}{R^2} \end{equation*}$

Розрахункові задачі

Завдання № 5

Супутник масою 500 кг рухається на орбіті Землі радіусом 7*10⁶ м. Обчисліть швидкість руху супутника. Маса Землі 5,97*10²⁴ кг

Завдання № 6

Чому дорівнює прискорення вільного падіння на висоті, що дорівнює трьом радіусам Землі? Маса Землі 5,97*10²⁴ кг, а радіус 6,4*10⁶ м.

Завдання № 7

Визначте прискорення вільного падіння на поверхні планети, якщо її маса 1,9*10²⁷ кг, а радіус 6,9*10⁶ м.

Завдання № 8

Комета рухається навколо Сонця по еліптичній орбіті, велика піввісь якої a = 27 астрономічних одиниць. Визначте період її обертання навколо Сонця. (1 а.о. =1,4961011 м – середня відстань від Землі до Сонця).

Завдання № 9

Установлення відповідності

Установіть відповідність між фізичною величиною (1-4) та формулою (А-Г), що їй відповідає:

Сила тяжіння між двома тілами
Прискорення вільного падіння на поверхні планети
Перша космічна швидкість
Друга космічна швидкість

(42) $\begin{equation*}v_1 = \sqrt{g \times R} \end{equation*}$

(43) $\begin{equation*}v_2 = \sqrt{2} \times v_1 \end{equation*}$

(44) $\begin{equation*}F = G \frac{m_1 \times m_2}{R^2} \end{equation*}$

(45) $\begin{equation*}g = G \frac{M}{R^2} \end{equation*}$

Завдання № 10

Установіть відповідність між фізичною величиною (1-3) та зміною її значення (А-В):

Висота супутника збільшилася в 4 рази
Маса планети зменшилась у 9 разів, радіус залишився той самий
Відстань між двома тілами на орбіті зросла в 3 рази

А Прискорення вільного падіння зменшиться у 9 разів
Б Орбітальний період супутника збільшиться у 8 разів
В Сила тяжіння зменшиться у 9 разів

4. Попрактикуймо самостійно

Ситуація:

Малий супутник зв’язку масою 800 кг виводять на кругову низьку орбіту на висоті 300 км над поверхнею Землі. Маса Землі

5,97*10²⁴ кг, а радіус 6,4*10⁶ м.

Рівень А

Яке прискорення вільного падіння на висоті 300 км над поверхнею Землі?

Рівень В

Яка перша космічна швидкість (швидкість супутника для кругової орбіти) на цій висоті?

Рівень С

Обчисліть довжину шляху, який він пройде за один повний оберт.

5. Рефлексія

Що сьогодні було для мене легким?

⬜ Розраховувати прискорення вільного падіння на висоті

⬜ Знаходити першу космічну швидкість

⬜ Аналізувати взаємодію гравітаційної сили та руху

Що виявилось складним?

⬜ Визначити точну висоту орбіти для розрахунків

⬜ Пам’ятати формули для різних космічних швидкостей

⬜ Розуміти різницю між першою та другою космічною швидкістю

Як я працював(ла)?

⬜ Усе розв’язав(ла) самостійно

⬜ Потребував(ла) підказки вчителя / однокласника

⬜ Не зрозумів(ла) частину завдань

⬜ Працював(ла) уважно та впевнено

Оціни свою роботу (1-5): _____

У вільний від відпочинку час:

Створи власну фізичну задачу на гравітаційну взаємодію тіл, рух природних чи штучних супутників, космічних апаратів тощо.

Інструкція:

Опиши реальну або уявну ситуацію, де можна спостерігати дію закону Всесвітнього тяжіння, законів Кеплера чи реалізацію космічних швидкостей.
Сформулюй питання до ситуації (що треба знайти).
За бажанням – розв’яжи свою задачу.

Завантажити матеріал (PDF)

Ділись та обговорюй важливе