Тема 1. Тема 1

матеріал 15

Динаміка в спеціальній теорії відносності

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 72. Динаміка в спеціальній теорії відносності

Очікувані результати навчання

формулює самостійно або у співпраці з іншими проблему дослідження [12 ПРО 1.1.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими мету дослідження [12 ПРО 1.2.1]
формулює та обґрунтовує самостійно або у співпраці з іншими гіпотези відповідно до проблеми і мети дослідження, визначає завдання [12 ПРО 1.2.2]
створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12ПРО 1.4.1]
здійснює самостійно або у співпраці з іншими дослідження, фіксує результати [12 ПРО 1.4.2]
опрацьовує та аналізує самостійно або у співпраці з іншими результати дослідження [12 ПРО 1.5.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими висновки за результатами досліджень та обґрунтовує їх [12 ПРО 1.5.2]
добирає самостійно або у співпраці з іншими форми подання інформації і її перетворення [12 ПРО 2.2.1]
порівнює, аналізує самостійно або у співпраці з іншими природні і техногенні об’єкти, явища і процеси на основі наукових методів пізнання та законів природи [12 ПРО 3.1.1]
ідентифікує, формулює та аналізує самостійно або у співпраці з іншими життєву/навчальну проблему [12 ПРО 4.2.1]

Мета уроку: сформувати в учнів уявлення про динаміку тіл при релятивістських швидкостях, пояснити поняття релятивістської маси та сили, розкрити відмінності між класичними та релятивістськими законами динаміки, показати практичне значення цих понять для сучасних технологій, фізики елементарних частинок та біомедицини.

Очікувані результати для вчителя:

учні розуміють суть релятивістських ефектів у динаміці;
пояснюють зв’язок між силою, прискоренням та швидкістю при релятивістських швидкостях;
застосовують поняття релятивістської маси та сили для розв’язання задач;
усвідомлюють значення релятивістської динаміки для пояснення природних і техногенних явищ.

Очікувані результати для учнівства:

пояснюють, чому класичні закони динаміки не працюють при швидкостях, близьких до швидкості світла;
формулюють основні положення релятивістської динаміки;
записують релятивістські вирази для маси та сили;
наводять приклади застосування релятивістських ефектів у техніці й медицині;
розв’язують задачі на релятивістське збільшення маси.

Ключові слова:

релятивістська маса
релятивістська сила
фактор Лоренца
спеціальна теорія відносності
інерція
прискорення

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Релятивістська маса
2.2. Релятивістська сила
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв.

Проблемне питання

Чи справді маса тіла завжди залишається сталою, як нас вчили у класичній механіці?

Джерело: https://chatgpt.com/

Відповідь:

У класичній механіці маса тіла вважається сталою величиною, що не залежить від швидкості чи стану тіла, і визначає його інертність – здатність чинити опір зміні руху. Проте у релятивістській фізиці, згідно з теорією відносності Ейнштейна, маса та енергія взаємопов’язані. Це означає, що маса залежить від швидкості: коли тіло рухається зі швидкістю, близькою до швидкості світла, його релятивістська маса збільшується.

Як змінюється дія сили, коли швидкість наближається до швидкості світла?

Джерело: https://gemini.google.com/

Відповідь:

Коли швидкість тіла наближається до швидкості світла, дія сили змінюється істотно порівняно з класичними уявленнями. У класичній механіці сила визначається як

F=ma, тобто при сталій силі прискорення теж залишається сталим. Однак у релятивістській механіці маса тіла зростає зі збільшенням швидкості, і тому при тій самій силі прискорення поступово зменшується. Чим ближча швидкість до швидкості світла, тим сильніше тіло «чинить опір» подальшому розгону. У результаті навіть дуже велика сила не здатна розігнати матеріальне тіло до швидкості світла

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/OJ693Zq3Kww?si=SjUZNd7G9HNr4daH

Відео

https://youtu.be/N_S9l6tFKsU?si=yCLDnM6qPK2fW5fp

Відео

2. Теоретичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 25 хв.

Почніть із повторення понять маси, інертності та сили у класичній механіці. Зверніть увагу учнів на те, що за законами Ньютона маса тіла є сталою величиною, яка не залежить від швидкості.

Запропонуйте приклад: «Електрон у прискорювачі набуває швидкості, близької до швидкості світла, але навіть при величезних енергіях не може досягти її». Попросіть учнів висунути гіпотези, чому це відбувається.

Акцентуючі питання:

Як змінюється маса при зростанні швидкості?

Що таке маса спокою?

Чому неможливо досягти швидкості світла?

Як збільшення маси впливає на імпульс тіла?

Чи має фотон масу спокою?

2.1. Релятивістська маса

Релятивістська маса – це поняття, яке вводиться в теорії відносності для опису того, як змінюється інертність тіла при великих швидкостях.

Якщо у класичній фізиці маса тіла вважається сталою, то в релятивістській механіці вона зростає зі швидкістю за формулою:

(1) $\begin{equation*}m = \gamma \times m_0 \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

– фактор Лоренца, який показує, наскільки величини (час, довжина, маса) змінюються при русі зі швидкістю v.

Тоді

(3) $\begin{equation*}m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

де m₀– маса спокою (маса тіла, коли воно не рухається), кг, v – швидкість тіла, м/с, c – швидкість світла у вакуумі (приблизно 3×10⁸м/с).

Коли тіло рухається зі швидкістю, набагато меншою за швидкість світла, різниця між m і m0 практично непомітна, тому класична механіка добре описує рух.

Але коли швидкість v стає значною часткою c, знаменник у виразі зменшується, і маса m починає різко зростати.

Це означає, що для подальшого збільшення швидкості потрібно прикладати все більшу силу, тобто витрачати дедалі більше енергії.

Дружня порада вчителю

Нагадайте учням другий закон Ньютона

F=m×a і підкресліть, що в ньому маса вважається сталою.

Запропонуйте приклад, де сила спричиняє рівномірне прискорення (наприклад, рух візка по горизонтальній поверхні). Це створить основу для усвідомлення відмінностей у релятивістському випадку.

Покажіть графік залежності прискорення від швидкості при сталій силі (спадаюча крива). Поясніть, що з ростом швидкості тіло «опирається» зміні руху, бо його інертність зростає.

Учням важливо зрозуміти, чому прискорення зменшується – не через зменшення сили, а через зростання інертності.

Акцентуючі питання:

Де враховується релятивістська сила у техніці чи медицині?

Як виразити релятивістську силу через фактор Лоренца?

Чому зв’язок між силою та прискоренням стає нелінійним?

Як сила впливає на частинку при наближенні до швидкості світла?

Який фізичний зміст фактору 3?

2.2. Релятивістська сила

У класичній механіці другий закон Ньютона записується просто:

(4) $\begin{equation*}F = m \times a\end{equation*}$

де m – стала маса, кг, a – прискорення, м/с².

Це означає, що при сталому значенні сили тіло завжди буде рухатися з однаковим прискоренням.

Однак при великих швидкостях у спеціальній теорії відносності другий закон Ньютона набуває узагальненого вигляду:

(5) $\begin{equation*}F = \frac{d(mv)}{dt} \end{equation*}$

Якщо розкрити похідну, враховуючи, що маса залежить від швидкості, отримаємо:

(6) $\begin{equation*}F = m \frac{dv}{dt} + v \frac{dm}{dt} \end{equation*}$

Після математичних перетворень з урахуванням залежності m(v) отримаємо релятивістську форму закону:

(7) $\begin{equation*}F = \gamma^3 \times m_0 \times a \end{equation*}$

де y³відображає релятивістське збільшення інертності тіла.

Цей вираз показує, що зв’язок між силою та прискоренням стає нелінійним. При швидкостях, близьких до швидкості світла, 3 різко зростає, і для того, щоб надати тілу навіть невелике додаткове прискорення, потрібно прикладати набагато більшу силу.

Релятивістського прискорення:

(8) $\begin{equation*}a = \frac{F}{\gamma^3 \times m_0} \end{equation*}$

Якщо побудувати графік залежності a(v), то він починається з максимального значення a0=F/m0 при v=0 і поступово спадає, наближаючись до нуля при v→c (див. рис. 1). Така крива демонструє, що сила все менше впливає на зміну швидкості, хоча енергія руху тіла продовжує зростати.

Рис. 1 Графік залежності релятивістського прискорення
aвід швидкості v

3. Практичний блок

Завдання № 1

Електрон рухається зі швидкістю 0,8c. Знайдіть його релятивістську масу.

Відповідь:

(9) $\begin{equation*}m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

c=3×108 м/с – швидкість світла;
v=0,8c=0,8×3×108=2,4108 м/с– швидкість електрона;
m0=9,11×10-31 кг – маса спокою електрона.

Завдання № 2

На частинку масою спокою 1,0*10^-30 кг діє стала сила 3,0*10^-15 Н.Знайдіть прискорення частинки, якщо її швидкість дорівнює 0,8c

Відповідь:

(10) $\begin{equation*}a = \frac{F}{\gamma^3 m_0} \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

c=3×108 м/с – швидкість світла;
v=0,8c=0,8×3×108=2,4108 м/с – швидкість частинки;
m0=1,010-30 кг – маса спокою частинки.
F=3,0×10-15 Н – сила, що діє на частинку.

Завдання № 3

На електрон діє стала сила 1,0*10^-13Н. Як зміниться прискорення, якщо швидкість зросте з 0,5c до 0,9c. Маса спокою електрона 9,11*10^-31 кг.

Відповідь:

(11) $\begin{equation*}a = \frac{F}{\gamma^3 m_0} \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

c=3×108 м/с – швидкість світла;
v1=0,5c=1,5108 м/с – початкова швидкість електрона;
v2=0,9c=2,7108 м/с – кінцева швидкість електрона;
m0=9,1110-31 кг – маса спокою електрона;
F=1,010-13 Н – сила, що діє на електрон.

Для v1=0,5c:

(12) $\begin{equation*}\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,25}} = 1,155 \end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\gamma_1^3 = 1,5 \end{equation*}$

Для v2=0,9c:

(14) $\begin{equation*}\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,81}} = 2,294 \end{equation*}$

(15) $\begin{equation*}\gamma_2^3 = 12,08 \end{equation*}$

Завдання № 4

Частинка з масою спокою 2,0*10^-27кг (приблизно маса протона) має прискорення 1,0*10¹⁴ м/с2 при швидкості 0,95c. Визначить силу, необхідну для сталого прискорення.

Відповідь:

(16) $\begin{equation*}F = \gamma^3 \times m_0 \times a \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

c=3×108 м/с – швидкість світла;
v=0,95c=2,8108 м/с – швидкість частинки;
m0=2,010-27 кг – маса спокою частинки;
a=1,01014 м/с2 – прискорення частинки.

(18) $\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0,95^2}} = 3,203 \end{equation*}$

(19) $\begin{equation*}\gamma^3 = 32,9 \end{equation*}$

F=32,9×2,0×10^-27×1,0×10¹⁴=6,58×10^-12 Н

4. Попрактикуймо самостійно

На електрон, який рухається вздовж прямої, діє стала сила 2,0*10^-14 Н. Маса спокою електрона 9,11*10^-31кг. Швидкість світла c=3*10⁸ м/с.

Рівень А

Електрон рухається зі швидкістю 0,6c. Обчисліть релятивістський множник Лоренца .

Відповідь:

(20) $\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

c=3×108 м/с – швидкість світла;
v=0,6c=1,8108 м/с – швидкість електрона;
m0=9,1110-31 кг – маса спокою електрона;

(21) $\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{1}{\sqrt{0,64}} = \frac{1}{0,8} = 1,25 \end{equation*}$

Рівень В

Визначте релятивістську масу електрона.

Відповідь:

(22) $\begin{equation*}m = \gamma \times m_0 \end{equation*}$

Рівень С

Використайте знайдену масу, щоб знайти прискорення електрона при даній силі.

Відповідь:

(23) $\begin{equation*}a = \frac{F}{\gamma^3 \times m_0}\end{equation*}$

(24) $\begin{equation*}\gamma^3 = 1,953\end{equation*}$

Рефлексія

Дружня порада вчителю

Тривалість до 2 хв.

Заохочуйте учнів бути чесними та відвертими у своїх роздумах.

На уроці я зрозумів …
На уроці найцікавішим було …
На уроці мені було найважче …
У мене виникло запитання …

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

У вільний від відпочинку час

Дружня порада вчителю

Для розвитку критичного мислення та навичок аналізу учням можна запропонувати творче завдання: попросіть їх написати короткий міні-твір або дослідницький абзац на тему «Важливість зміни маси зі швидкістю у науці та медицині». Учні повинні пояснити фізичний зміст релятивістського зростання маси, навести приклади застосування у сучасних технологіях (наприклад, прискорювачі частинок, ПЕТ-томографія, космічні апарати) та зробити власний висновок про значення цього явища. Таке завдання дозволяє поєднати фізичну теорію з практикою, розвиває навички формулювання думок та робить урок більш інтерактивним і змістовним.

Варіант 1.

Міні-твір (5-7 речень)

Напишіть короткий міні-твір на тему: «Чому зміна маси зі швидкістю має значення для сучасної науки?»

У творі поясніть:

що означає твердження «маса зростає зі швидкістю»;
чому при швидкостях, близьких до швидкості світла, це стає важливим;
які наслідки це має для руху елементарних частинок, космічних апаратів чи енергетики.

Варіант 2.

Дослідницьке завдання (пошук у мережі)

Знайдіть у відкритих джерелах (інтернет, науково-популярні статті) два приклади, де релятивістське зростання маси є важливим у медицині або науці.

Наприклад:

робота прискорювачів частинок (випромінювання, дослідження елементарних частинок);
використання позитронно-емісійної томографії (ПЕТ) у медицині;
розгін протонів або електронів у радіотерапії.

Опишіть коротко (5-8 речень).

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 72. Динаміка в спеціальній теорії відносності

Очікувані результати навчання

Мета уроку: сформувати в учнів уявлення про динаміку тіл при релятивістських швидкостях, пояснити поняття релятивістської маси та сили, розкрити відмінності між класичними та релятивістськими законами динаміки, показати практичне значення цих понять для сучасних технологій, фізики елементарних частинок та біомедицини.

Очікувані результати для учнівства:

пояснюють, чому класичні закони динаміки не працюють при швидкостях, близьких до швидкості світла;
формулюють основні положення релятивістської динаміки;
записують релятивістські вирази для маси та сили;
наводять приклади застосування релятивістських ефектів у техніці й медицині;
розв’язують задачі на релятивістське збільшення маси.

Ключові слова:

релятивістська маса
релятивістська сила
фактор Лоренца
спеціальна теорія відносності
інерція
прискорення

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Релятивістська маса
2.2. Релятивістська сила
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Чи справді маса тіла завжди залишається сталою, як нас вчили у класичній механіці?

Джерело: https://chatgpt.com/

Як змінюється дія сили, коли швидкість наближається до швидкості світла?

Джерело: https://gemini.google.com/

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/OJ693Zq3Kww?si=SjUZNd7G9HNr4daH

Відео

https://youtu.be/N_S9l6tFKsU?si=yCLDnM6qPK2fW5fp

Відео

2. Теоретичний блок

2.1. Релятивістська маса

Релятивістська маса – це поняття, яке вводиться в теорії відносності для опису того, як змінюється інертність тіла при великих швидкостях.

Якщо у класичній фізиці маса тіла вважається сталою, то в релятивістській механіці вона зростає зі швидкістю за формулою:

(25) $\begin{equation*}m = \gamma \times m_0 \end{equation*}$

(26) $\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

– фактор Лоренца, який показує, наскільки величини (час, довжина, маса) змінюються при русі зі швидкістю v.

Тоді

(27) $\begin{equation*}m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

де m₀– маса спокою (маса тіла, коли воно не рухається), кг, v – швидкість тіла, м/с, c – швидкість світла у вакуумі (приблизно 3×10⁸м/с).

Коли тіло рухається зі швидкістю, набагато меншою за швидкість світла, різниця між m і m0 практично непомітна, тому класична механіка добре описує рух.

Але коли швидкість v стає значною часткою c, знаменник у виразі зменшується, і маса m починає різко зростати.

Це означає, що для подальшого збільшення швидкості потрібно прикладати все більшу силу, тобто витрачати дедалі більше енергії.

2.2. Релятивістська сила

У класичній механіці другий закон Ньютона записується просто:

(28) $\begin{equation*}F = m \times a\end{equation*}$

де m – стала маса, кг, a – прискорення, м/с².

Це означає, що при сталому значенні сили тіло завжди буде рухатися з однаковим прискоренням.

Однак при великих швидкостях у спеціальній теорії відносності другий закон Ньютона набуває узагальненого вигляду:

(29) $\begin{equation*}F = \frac{d(mv)}{dt} \end{equation*}$

Якщо розкрити похідну, враховуючи, що маса залежить від швидкості, отримаємо:

(30) $\begin{equation*}F = m \frac{dv}{dt} + v \frac{dm}{dt} \end{equation*}$

Після математичних перетворень з урахуванням залежності m(v) отримаємо релятивістську форму закону:

(31) $\begin{equation*}F = \gamma^3 \times m_0 \times a \end{equation*}$

де y³відображає релятивістське збільшення інертності тіла.

Цей вираз показує, що зв’язок між силою та прискоренням стає нелінійним. При швидкостях, близьких до швидкості світла, 3 різко зростає, і для того, щоб надати тілу навіть невелике додаткове прискорення, потрібно прикладати набагато більшу силу.

Релятивістського прискорення:

(32) $\begin{equation*}a = \frac{F}{\gamma^3 \times m_0} \end{equation*}$

Якщо побудувати графік залежності a(v), то він починається з максимального значення a0=F/m0 при v=0 і поступово спадає, наближаючись до нуля при v→c (див. рис. 1). Така крива демонструє, що сила все менше впливає на зміну швидкості, хоча енергія руху тіла продовжує зростати.

3. Практичний блок

Завдання № 1

Електрон рухається зі швидкістю 0,8c. Знайдіть його релятивістську масу.

Завдання № 2

На частинку масою спокою 1,0*10^-30 кг діє стала сила 3,0*10^-15 Н.Знайдіть прискорення частинки, якщо її швидкість дорівнює 0,8c

Завдання № 3

На електрон діє стала сила 1,0*10^-13Н. Як зміниться прискорення, якщо швидкість зросте з 0,5c до 0,9c. Маса спокою електрона 9,11*10^-31 кг.

Завдання № 4

Частинка з масою спокою 2,0*10^-27кг (приблизно маса протона) має прискорення 1,0*10¹⁴ м/с2 при швидкості 0,95c. Визначить силу, необхідну для сталого прискорення.

4. Попрактикуймо самостійно

На електрон, який рухається вздовж прямої, діє стала сила 2,0*10^-14 Н. Маса спокою електрона 9,11*10^-31кг. Швидкість світла c=3*10⁸ м/с.

Рівень А

Електрон рухається зі швидкістю 0,6c. Обчисліть релятивістський множник Лоренца .

Рівень В

Визначте релятивістську масу електрона.

Рівень С

Використайте знайдену масу, щоб знайти прискорення електрона при даній силі.

Рефлексія

На уроці я зрозумів …
На уроці найцікавішим було …
На уроці мені було найважче …
У мене виникло запитання …

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

У вільний від відпочинку час

Варіант 1.

Міні-твір (5-7 речень)

Напишіть короткий міні-твір на тему: «Чому зміна маси зі швидкістю має значення для сучасної науки?»

У творі поясніть:

що означає твердження «маса зростає зі швидкістю»;
чому при швидкостях, близьких до швидкості світла, це стає важливим;
які наслідки це має для руху елементарних частинок, космічних апаратів чи енергетики.

Варіант 2.

Дослідницьке завдання (пошук у мережі)

Знайдіть у відкритих джерелах (інтернет, науково-популярні статті) два приклади, де релятивістське зростання маси є важливим у медицині або науці.

Наприклад:

робота прискорювачів частинок (випромінювання, дослідження елементарних частинок);
використання позитронно-емісійної томографії (ПЕТ) у медицині;
розгін протонів або електронів у радіотерапії.

Опишіть коротко (5-8 речень).

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Завантажити матеріал (PDF)

Ділись та обговорюй важливе