Тема 1. Тема 1

матеріал 14

Основні положення СТВ та їх наслідки

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 71. Основні положення СТВ та їх наслідки

Очікувані результати навчання

розв’язують задачі різних рівнів складності: від якісних пояснень до обчислень релятивістських ефектів.
формулює самостійно або у співпраці з іншими мету дослідження [12 ПРО 1.2.1]
формулює та обґрунтовує самостійно або у співпраці з іншими гіпотези відповідно до проблеми і мети дослідження, визначає завдання [12 ПРО 1.2.2]
створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12ПРО 1.4.1]
опрацьовує та аналізує самостійно або у співпраці з іншими результати дослідження [12 ПРО 1.5.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими висновки за результатами досліджень та обґрунтовує їх [12 ПРО 1.5.2]
добирає самостійно або у співпраці з іншими форми подання інформації і її перетворення [12 ПРО 2.2.1]
установлює та обґрунтовує самостійно або у співпраці з іншими взаємозв’язки між природними, техногенними об’єктами, закономірності явищ природи [12 ПРО 3.3.1]
ідентифікує, формулює та аналізує самостійно або у співпраці з іншими життєву/навчальну проблему [12 ПРО 4.2.1]

Мета уроку: сформувати в учнів розуміння історичних передумов виникнення спеціальної теорії відносності, розкрити зміст двох основних постулатів Ейнштейна та їх наслідків для простору й часу. Показати значення СТВ у сучасній науці й техніці.

Очікувані результати для вчителя:

учні подають історичний контекст виникнення СТВ;
чітко формулюють два постулати СТВ і показують, як з них випливають релятивістські наслідки;
пояснюють фізичний сенс ключових наслідків (уповільнення часу, скорочення довжини, відносність одночасності);
організовують мислені експерименти та обговорення (парадокс близнюків, «потяг і блискавки»), щоб розвивати критичне мислення;
розв’язують задачі різних рівнів складності: від якісних пояснень до обчислень релятивістських ефектів.

Очікувані результати для учнівства:

учні формулюють два основних постулати СТВ;
пояснюють відносність одночасності, уповільнення часу та скорочення довжини;
застосовують наслідки СТВ для аналізу руху тіл зі швидкостями, близькими до швидкості світла;
наводять приклади проявів СТВ у сучасних технологіях (GPS, прискорювачі частинок, астрофізика).

Ключові слова:

відносність руху
інерціальні системи відліку
швидкість світла
уповільнення часу
скорочення довжини
відносність одночасності

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.2. Постулати СТВ
2.2. Основні типи наукових методів
2.3. Релятивістський закон додавання швидкостей
2.4. Наслідки постулатів
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв.

Проблемне питання

Чи потрібно світлу якесь середовище для поширення, як повітря для звуку?

Джерело: https://chatgpt.com/

Відповідь:

Ні, світлу не потрібне середовище, як повітря для звуку, для поширення у вакуумі. Ця ключова відмінність зумовлена їхньою фізичною природою: звук – це механічна хвиля, яка є коливанням частинок і вимагає матеріального середовища (газу, рідини або твердого тіла) для передачі енергії. Натомість світло – це електромагнітна хвиля (або потік фотонів), яка може поширюватися як через речовину, так і через вакуум (простір без речовини).

Чому класична механіка добре описує рух лише на малих швидкостях, а при наближенні до швидкості світла вона перестає бути точною?

Джерело: https://chatgpt.com/

Відповідь:

Класична механіка ґрунтується на припущеннях Ньютона, які справедливі, коли швидкість об’єкта значно менша за швидкість світла. При малих швидкостях ефекти відносності майже непомітні, тому закони Ньютона дають точний результат.

Але коли швидкість об’єкта стає порівнянною зі швидкістю світла, виникають релятивістські ефекти: час сповільнюється, довжини скорочуються, а маса ефективно зростає. Класичні формули не враховують цих змін, тому перестають правильно описувати рух.

Як пояснити, що космонавти в космосі біологічно старіють повільніше порівняно зі спостерігачами на Землі?

Джерело: https://live.stemfellowship.org/time-dilation/

Відповідь:

Космонавти в космосі біологічно старіють повільніше через явище релятивістського уповільнення часу, передбачене спеціальною теорією відносності Ейнштейна. Час не є абсолютним: для спостерігача, який рухається на великій швидкості відносно Землі, він «спливає» повільніше.

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/4RuwR0iIIao?si=ozH4_jiksa_6gF0W

Відео

https://youtu.be/OJ693Zq3Kww?si=Li-XVnWuQJLTaltE

Відео

https://youtu.be/LAStz070y0k?si=e9UN-LM8GAeR6lJV

Відео

2. Теоретичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 25 хв.

Почніть з життєвого прикладу (каюта корабля, вагон потяга).

Покажіть, що у замкненій системі експерименти однакові незалежно від руху.

Дайте учням «мислений експеримент» – м’яч у поїзді.

Нагадайте, що таке інерціальна система відліку.

Акцентуючі питання:

Що означає «інерціальна система відліку»?

Як рух м’яча у поїзді бачить пасажир?

Як цей же рух бачить спостерігач на пероні?

Чи відрізняються закони Ньютона для цих двох спостерігачів?

Чи можна експериментом у замкненій каюті визначити, чи рухається вона?

Покажіть аналогію: звук поширюється у повітрі, світло – «нібито» в ефірі.

Поясніть дослід Майкельсона-Морлі.

Наголосіть: очікували різницю швидкостей, але її не виявили.

Підкресліть конфлікт: механіка + ефір ≠ електродинаміка Максвелла. Це був поштовх для нової теорії.

Акцентуючі питання:

Що таке «світловий ефір»?

Чому його ввели фізики XIX ст.?

Яку швидкість світла очікували вздовж руху Землі?

Який результат вони отримали?

Як цей результат суперечив класичній механіці?

2.1. Передумови виникнення СТВ

XVII–XIX ст.

Галілей (1564-1642 р.) одним із перших сформулював ідею, що закони механіки однакові для всіх спостерігачів, які рухаються рівномірно та прямолінійно.

Суть: у каюті корабля, що рухається рівномірно і прямолінійно, фізичні явища відбуваються так само, як і в нерухомій каюті.

Ньютон (1643-1727 р.) розвинув і уточнив цю ідею, ввівши поняття інерційної системи відліку та три закони механіки.

Приклад:

Людина кидає м’яч угору в поїзді, що рухається рівномірно. Для пасажира м’яч рухається вертикально, для спостерігача ззовні – по параболі. Але в обох випадках закони Ньютона однакові.

Кінець XIX ст.

У кінці XIX століття фізики думали, що світло поширюється у спеціальному середовищі – ефірі, який був «носієм» електромагнітних хвиль, подібно до того, як звук поширюється в повітрі. Очікування: швидкість світла повинна залежати від руху джерела або відносного руху спостерігача щодо ефіру.

Експеримент Майкельсона (1852-1931 р.) та Морлі (1838-1923 р.), який було проведено в 1887 році, показав, що швидкість світла не залежить від руху Землі через ефір.

Ідея вчених полягала в наступному: якщо спрямувати промінь світла з джерела на Землі спочатку вздовж напрямку руху планети, а потім у напрямку, перпендикулярному до нього, то швидкість світла відносно нерухомої системи повинна відрізнятися у кожному випадку.

Згідно з класичною теорією додавання швидкостей, світло, що рухається в напрямку руху Землі, має мати швидкість, рівну:

(1) $\begin{equation*}c_1 = c + v \end{equation*}$

де v – швидкість руху Землі навколо Сонця.

Якщо світло поширюється в напрямку, протилежному напрямку руху Землі, то швидкість:

(2) $\begin{equation*}c_2 = c - v \end{equation*}$

Відповідно швидкість світла, яке поширюється перпендикулярно до напрямку руху Землі, має становити:

(3) $\begin{equation*}c_3 = \sqrt{c^2 + v^2} \end{equation*}$

Досліди Майкельсона й Морлі показали, що швидкість поширення світла в будь-якому випадку є однаковою.

Принцип Галілея-Ньютона, також, не узгоджувався з рівняннями Максвелла (1831-1879 р.), оскільки вони передбачали, що світло у вакуумі має точно визначену швидкість c.

Виникала суперечність між механікою та електродинамікою.

Початок XX ст.

Дружня порада вчителю

Поясніть: Лоренц шукав «математику», яка узгодить закони електродинаміки.

Запишіть перетворення Лоренца, поясніть символи.

Наголосіть на ролі γ (фактор Лоренца).

Акцентуючі питання:

Хто ввів нові співвідношення координат і часу?

Які величини змінюються при переході між системами відліку?

Як позначається релятивістський множник?

Що відбувається з γ при v ≪ c?

Що відбувається з γ при v → c?

Щоб пояснити сталість швидкості світла, голландський фізик Лоренц (1853-1928 р.) у 1895-1904 рр. увів нові математичні співвідношення, які пізніше дістали назву перетворення Лоренца:

(4) $\begin{equation*}x' = \gamma(x - vt) \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}y' = y \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*}z' = z \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*}t' = \gamma(t - \frac{vx}{c^2}) \end{equation*}$

(8) $\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

v – швидкість руху однієї системи відліку відносно іншої, м/с, c – швидкість світла у вакуумі, м/с, – фактор Лоренца або релятивістський множник.

Ці співвідношення описують, як змінюються просторові координати та час при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої, та стали математичним фундаментом спеціальної теорії відносності Ейнштейна.

Дружня порада вчителю

Почніть із «мисленого експерименту» Ейнштейна – їхати на промені світла.

Чітко проговоріть два постулати.

Поясніть, що швидкість світла – універсальна константа.

Акцентуючі питання:

Що означає принцип відносності?

Чому не існує «абсолютного спокою»?

Чому швидкість світла не залежить від руху джерела?

Чому не можна застосувати класичне додавання швидкостей до світла?

Чому постулати СТВ стали революцією?

2.2. Постулати СТВ

Спеціальна теорія відносності (СТВ) – це фізична теорія, створена Альбертом Ейнштейном (див. рис. 1) у 1905 році для опису руху тіл, які рухаються зі швидкостями, близькими до швидкості світла.

Джерело: https://www.space.com/15524-albert-einstein.html

Альберт Ейнштейн використав у своїх роботах чисто логічний підхід:

Уявив себе на промені світла – подумав, що, якщо механічні закони залишаються справедливими у будь-якій інерціальній системі, то закони електродинаміки теж мають «підкорятися» такому принципу;
поставив питання: «що буде, якщо спостерігач рухається відносно світлової хвилі?»;
розуміння: класичне додавання швидкостей призводить до внутрішніх суперечностей (наприклад, швидкість світла могла б виявитися більшою чи меншою).

Ейнштейн зробив два принципові припущення – постулати.

Перший постулат – принцип відносності:

«Усі закони фізики мають однаковий вигляд у всіх інерціальних системах відліку».

Інерціальна система відліку – це система, яка рухається рівномірно та прямолінійно (не прискорюється) відносно інших подібних систем. Не існує «особливої» системи, що перебуває у стані абсолютного спокою.

Це означає, що можна говорити лише про рух відносно інших тіл. Якщо спостерігач рухається в прямолінійній рівномірній системі, він не зможе визначити, чи рухається його система чи перебуває у спокої, лише через внутрішні експерименти.

Другий постулат – незмінність швидкості світла:

«Швидкість світла у вакуумі однакова для всіх інерціальних спостерігачів, незалежно від того, рухається джерело світла чи спостерігач».

Навіть якщо ви рухаєтеся назустріч світловому променю або у тому самому напрямку, ви все одно виміряєте швидкість світла як

Дружня порада вчителю

Покажіть відмінність між класичною і релятивістською формулами.

Акцентуючі питання:

Яка формула додавання швидкостей у класичній механіці?

Яка формула діє у СТВ?

Чому релятивістська формула важлива?

Що буде, якщо u’ і v ≪ c?

Що буде, якщо u’ і v близькі до c?

2.3. Релятивістський закон додавання швидкостей

У класичній механіці швидкості додаються за формулою:

(9) $\begin{equation*}u = u' + v \end{equation*}$

де u – швидкість тіла відносно нерухомої системи відліку, м/с, ú –швидкість тіла відносно рухомої системи відліку, м/с, v – швидкість рухомої системи відліку відносно нерухомої, м/с.

У СТВ діє інший закон додавання швидкостей – релятивістський:

(10) $\begin{equation*}u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} \end{equation*}$

Дружня порада вчителю

Використайте приклад з «потягом Ейнштейна».

Акцентуючі питання:

Чому в класичній механіці одночасність вважалася абсолютною?

Як бачить спалахи спостерігач на землі?

Як бачить їх пасажир у потязі?

Чому вони доходять до пасажира в різний час?

Що це означає для поняття «одночасність»?

Чи можуть дві події бути одночасними для одного спостерігача і неодночасними для іншого?

Чому одночасність залежить від системи відліку?

Як цей приклад підриває уявлення про «абсолютний час»?

2.4. Наслідки постулатів

Відносність одночасності подій

У класичній механіці вважалося, що одночасність абсолютна:

«Якщо дві події відбулися одночасно для одного спостерігача, вони відбулися одночасно для всіх».

У СТВ це не так.

Потяг Ейнштейна

Уявний експеримент Альберта Ейнштейна, що пояснює концепцію відносності одночасності згідно з яким, одночасність подій залежить від системи відліку спостерігача (див. рис. 2).

Джерело: https://gemini.google.com/

Спостерігач стоїть на землі. У момент, коли середина потяга проходить повз нього, в обидва кінці потяга вдаряють блискавки.

Для спостерігача на землі відстань до обох кінців однакова, світло від блискавок доходить одночасно.

Події «спалахи в обох кінцях» є одночасними в системі Землі.

Для пасажира в потязі ситуація інша. Потяг рухається вперед. Тому світло від блискавки, що вдарила попереду потяга, має пройти меншу відстань до пасажира (бо він рухається назустріч світлу), ніж світло від блискавки позаду (бо пасажир віддаляється від нього).

У результаті пасажир бачить передній спалах раніше, ніж задній. Для нього події не одночасні.

Дружня порада вчителю

Наведіть формулу сповільнення часу. Приклад: атомні годинники на літаках (Хафеле-Кітінг).

Акцентуючі питання:

Що означає «рухомий годинник іде повільніше»?

Коли ефект сповільнення часу стає помітним?

Чому у звичайному житті ми не помічаємо цього явища?

Чому для космонавтів час іде «нормально»?

Як це пояснити з точки зору спостерігача на Землі?

Сповільнення часу

Рухомий годинник іде повільніше.

Якщо ракета летить з великою швидкістю

v, то для космонавтів всередині час іде «нормально», але для людей на Землі їхні годинники відстають:

(11) $\begin{equation*}t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

де t₀ – власний час – час, виміряний у системі, де тіло покоїться в спокої (час у ракеті), t – час у зовнішній системі – час, виміряний спостерігачем, який бачить ракету, що рухається (час для спостерігача на Землі).

Цей ефект дуже важко виміряти в людському масштабі, оскільки він значною мірою проявляється лише при наближенні до швидкості світла. Тим не менш, у 1971 році фізики Джозеф Хафеле та Річард Кітінг встановили атомні годинники на борту реактивних літаків і відправили їх у політ по всьому світу. Коли годинники повернулися, вони були несинхронізовані з наземним годинником саме на величину, передбачену спеціальною теорією відносності.

Дружня порада вчителю

Поясніть приклад із братами Келлі (парадокс близнюків).

Акцентуючі питання:

Хто старіє швидше – той, хто рухається, чи той, хто залишається?

Чому ця різниця незначна для швидкостей сучасних космічних апаратів?

Що показує парадокс близнюків про відносність часу?

Чи можна цей ефект перевірити на Землі?

Як він пов’язаний зі сповільненням часу?

Парадокс близнюків

Коли астронавт Скотт Келлі провів майже рік на борту Міжнародної космічної станції починаючи з 2015 року, він рухався набагато швидше, ніж його брат-близнюк, астронавт Марк Келлі, який провів рік на поверхні планети (див. рис. 3).

Через уповільнення часу Марк Келлі старів швидше за Скота – на п’ять мілісекунд в рік.

Оскільки Скотт не рухався зі швидкістю, близькою до швидкості світла, фактична різниця у старінні через уповільнення часу була незначною.

Рис. 3 Астронавти Марк Келлі (ліворуч) та Скотт Келлі (праворуч)

Джерело: https://www.space.com/36273-theory-special-relativity.html

Дружня порада вчителю

Поясніть: супутники рухаються швидко – їхні годинники відстають. Підкресліть, що GPS враховує СТВ на практиці.

Акцентуючі питання:

Чому годинники на супутниках ідуть інакше, ніж на Землі?

Яку швидкість мають супутники GPS?

Чому цей ефект важливий для GPS?

Що було б, якби не враховували СТВ?

Чому GPS – приклад застосування теорії відносності в житті?

Часовий парадокс GPS

Незважаючи на абстрактне звучання, спеціальна теорія відносності впливає на сучасне життя, особливо на супутники GPS.

Ці супутники повинні відстежувати неймовірно точний час, щоб точно визначити місцезнаходження на планеті, тому вони працюють на основі атомних годинників. Але оскільки ці атомні годинники знаходяться на борту супутників, які постійно проносяться космосом зі швидкістю 14000 км/год, спеціальна теорія відносності вказує, що вони щодня відстають на 7 мікросекунд.

Щоб підтримувати темп із земними годинниками, атомні годинники на GPS-супутниках повинні щодня віднімати 7 мікросекунд.

Дружня порада вчителю

Наведіть формулу скорочення довжини. Приклад: ракета для зовнішнього спостерігача виглядає коротшою.

Акцентуючі питання:

У чому суть ефекту скорочення довжин?

Як довжина змінюється при v→c?

Чому цей ефект неможливо помітити у повсякденному житті?

Що таке ефект Террелла-Пенроуза?

Чому швидкі об’єкти виглядають «деформованими»?

Скорочення довжини

Ефект скорочення довжин полягає в тому, що повздовжня довжина тіла, що рухається в поздовжньому напрямі із швидкістю v дорівнює:

(12) $\begin{equation*}l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{equation*}$

де l₀ – власна довжина – виміряна у системі, де тіло покоїться в спокої (довжина тіла в ракеті), l – довжина у зовнішній системі – виміряна спостерігачем, який бачить ракету, що рухається (довжина для спостерігача на Землі).

Один із наслідків скорочення довжини був запропонований у 1959 році фізиками Джеймсом Терреллом та Роджером Пенроузом.

Відомий як ефект Террелла-Пенроуза, він передбачав, що об’єкти, що рухаються зі швидкістю, близькою до швидкості світла, повинні виглядати перевернутими.

3. Практичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 10 хв.

Завдання № 1

(ЗНО 2016 – додаткова сесія)

Згідно зі спеціальною теорією відносності в рухомій і нерухомій системах відліку:

А) час плине однаково, швидкість світла у вакуумі має різні значення;
Б) час плине однаково, швидкість світла у вакуумі має однакові значення;
В) час плине по-різному, швидкість світла у вакуумі має різні значення;
Г) час плине по-різному, швидкість світла у вакуумі має однакові значення.

Відповідь:

Г) час плине по-різному, швидкість світла у вакуумі має однакові значення.

Завдання № 2

(ЗНО 2015 – додаткова сесія)

Яку швидкість повинно мати тіло, щоб уздовж лінії руху його поздовжні розміри для спостерігача в нерухомій лабораторній системі відліку зменшилися на 20 %? Вважайте, що швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі c=3×10⁸ м/с.

Відповідь:

(13) $\begin{equation*}l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{equation*}$

Довжина зменшилася на 20 %, тобто

[ l = 0,8 l_0 \label{eq:9686d_1} ]

(14) $\begin{equation*}0,8 l_0 = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{equation*}$

[ 0,8 = \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \label{eq:9686d_3} ]

(15) $\begin{equation*}0,8^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2} \end{equation*}$

(16) $\begin{equation*}0,64 = 1 - \frac{v^2}{c^2} \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*}\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0,64 = 0,36 \end{equation*}$

Завдання № 3

(ЗНО 2017 – основна сесія)

З ракети, що рухається відносно Землі зі швидкістю 0,5с (с – швидкість світла у вакуумі), запустили в напрямку її руху космічний катер. Він рухається відносно ракети також зі швидкістю 0,5с. Визначте, у скільки разів швидкість цього катера відносно Землі менша за швидкість світла у вакуумі.

Відповідь:

(18) $\begin{equation*}u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} \end{equation*}$

ú=0,5c – швидкість катера відносно ракети;

v=0,5c – швидкість ракети відносно Землі.

Завдання № 4

(ЗНО 2019 – основна сесія)

Мюон – елементарна частинка, що виникає у верхніх шарах атмосфери, тривалість її «життя» τ₀=2,2 мкс. Згідно зі спеціальною теорією відносності, час «життя» частинки відносно спостерігача на Землі збільшується за формулою

(19) $\begin{equation*}l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{equation*}$

де c=3⋅10⁸м/с – швидкість світла у вакуумі.Яку відстань відносно Землі пролетить мюон, якщо рухатиметься зі швидкістю v=0,8c? Відповідь запишіть у метрах (м).

Відповідь:

v=0,8c=0,8×3×108=2,4×10⁸ м/с– швидкість частинки;
c=3×10⁸ м/с– швидкість світла;
t0=2,2 мкс = 2,2×10^-6 с– час «життя» частинки.

(20) $\begin{equation*}t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

Завдання № 5

(Скорочення довжини)

Пасажирський космічний корабель, довжина якого у стані спокою l0=120 м, пролітає повз космічну станцію зі швидкістю v=0,8c, де c=3×10⁸ м/с– швидкість світла. Яку довжину корабля спостерігає оператор станції? На скільки метрів скоротилася довжина корабля порівняно зі станом спокою?

Відповідь:

(21) $\begin{equation*}l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{equation*}$

– швидкість космічного корабля;

c=3×10⁸ м/с – швидкість світла.

4. Попрактикуймо самостійно

Дружня порада вчителю

Тривалість до 5 хв.

Міні-дослід: «Визначення часу відставання сигналу»

Мета: визначити, як швидкість руху спостерігача впливає на час, за який він отримує сигнал, що був надісланий одночасно з двох точок.

Обладнання: доступ до онлайн-симуляції: https://javalab.org/en/relativity-of-simultaneity/

Хід роботи:

Відкрийте симуляцію за наданим посиланням.
У налаштуваннях симуляції виберіть швидкість руху спостерігача.
Натисніть кнопку «Запустити» для ініціації події.
Спостерігайте за тим, як два сигнали (світлові промені) досягають спостерігача.
Визначте, який сигнал досягає спостерігача першим, і зафіксуйте час відставання.
Повторіть експеримент для різних значень швидкості руху спостерігача.
Порівняйте отримані результати та зробіть висновки.

№ досліду	Швидкість спостерігача, км/с	Час досягнення сигналу 1, с	Час досягнення сигналу 2, с	Час відставання Δt, с
1	100 000
2	150 000
3	200 000

Рефлексія

Дружня порада вчителю

Тривалість до 2 хв.

Заохочуйте учнів бути чесними та відвертими у своїх роздумах.

«5 балів»

Оціни від 1 до 5 балів тези:

«Я можу пояснити, у чому полягає принцип відносності та чому швидкість світла стала»

Твій бал _________

«Я розумію, як час і довжина змінюються при русі зі швидкістю, близькою до швидкості світла»

Твій бал _________

«Я вмію застосовувати формули для обчислення релятивістського часу, довжини та маси»

Твій бал _________

«Я можу навести приклади проявів ефектів СТВ у техніці, космосі чи GPS-системах»

Твій бал _________

«Я усвідомлюю, як ідеї Ейнштейна змінили наше уявлення про простір і час»

Твій бал _________

У вільний від відпочинку час

Дружня порада вчителю

Рекомендуйте цікаві відео для самостійного ознайомлення з подальшим його аналізом

Прогляньте відео https://youtu.be/95ZeOFYFcUk?si=h_YU77cG-UksdAtc

Відео

та сформуйте 3 питання з теми «Основні положення СТВ та їх наслідки»:

Які два основні постулати спеціальної теорії відносності формулює Ейнштейн у відео?
Як у відео пояснюється, що швидкість світла є тією межею, яку не можна перевершити?
Які парадоксальні або неінтуїтивні наслідки теорії (наприклад, щодо часу чи довжини) згадуються у відео – і як їх пояснюють?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 71. Основні положення СТВ та їх наслідки

Очікувані результати навчання

Мета уроку: сформувати в учнів розуміння історичних передумов виникнення спеціальної теорії відносності, розкрити зміст двох основних постулатів Ейнштейна та їх наслідків для простору й часу. Показати значення СТВ у сучасній науці й техніці.

Очікувані результати для учнівства:

учні формулюють два основних постулати СТВ;
пояснюють відносність одночасності, уповільнення часу та скорочення довжини;
застосовують наслідки СТВ для аналізу руху тіл зі швидкостями, близькими до швидкості світла;
наводять приклади проявів СТВ у сучасних технологіях (GPS, прискорювачі частинок, астрофізика).

Ключові слова:

відносність руху
інерціальні системи відліку
швидкість світла
уповільнення часу
скорочення довжини
відносність одночасності

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.2. Постулати СТВ
2.2. Основні типи наукових методів
2.3. Релятивістський закон додавання швидкостей
2.4. Наслідки постулатів
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Чи потрібно світлу якесь середовище для поширення, як повітря для звуку?

Джерело: https://chatgpt.com/

Чому класична механіка добре описує рух лише на малих швидкостях, а при наближенні до швидкості світла вона перестає бути точною?

Джерело: https://chatgpt.com/

Як пояснити, що космонавти в космосі біологічно старіють повільніше порівняно зі спостерігачами на Землі?

Джерело: https://live.stemfellowship.org/time-dilation/

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/4RuwR0iIIao?si=ozH4_jiksa_6gF0W

Відео

https://youtu.be/OJ693Zq3Kww?si=Li-XVnWuQJLTaltE

Відео

https://youtu.be/LAStz070y0k?si=e9UN-LM8GAeR6lJV

Відео

2. Теоретичний блок

2.1. Передумови виникнення СТВ

XVII–XIX ст.

Галілей (1564-1642 р.) одним із перших сформулював ідею, що закони механіки однакові для всіх спостерігачів, які рухаються рівномірно та прямолінійно.

Суть: у каюті корабля, що рухається рівномірно і прямолінійно, фізичні явища відбуваються так само, як і в нерухомій каюті.

Ньютон (1643-1727 р.) розвинув і уточнив цю ідею, ввівши поняття інерційної системи відліку та три закони механіки.

Приклад:

Людина кидає м’яч угору в поїзді, що рухається рівномірно. Для пасажира м’яч рухається вертикально, для спостерігача ззовні – по параболі. Але в обох випадках закони Ньютона однакові.

Кінець XIX ст.

У кінці XIX століття фізики думали, що світло поширюється у спеціальному середовищі – ефірі, який був «носієм» електромагнітних хвиль, подібно до того, як звук поширюється в повітрі. Очікування: швидкість світла повинна залежати від руху джерела або відносного руху спостерігача щодо ефіру.

Експеримент Майкельсона (1852-1931 р.) та Морлі (1838-1923 р.), який було проведено в 1887 році, показав, що швидкість світла не залежить від руху Землі через ефір.

Ідея вчених полягала в наступному: якщо спрямувати промінь світла з джерела на Землі спочатку вздовж напрямку руху планети, а потім у напрямку, перпендикулярному до нього, то швидкість світла відносно нерухомої системи повинна відрізнятися у кожному випадку.

Згідно з класичною теорією додавання швидкостей, світло, що рухається в напрямку руху Землі, має мати швидкість, рівну:

(22) $\begin{equation*}c_1 = c + v \end{equation*}$

де v – швидкість руху Землі навколо Сонця.

Якщо світло поширюється в напрямку, протилежному напрямку руху Землі, то швидкість:

(23) $\begin{equation*}c_2 = c - v \end{equation*}$

Відповідно швидкість світла, яке поширюється перпендикулярно до напрямку руху Землі, має становити:

(24) $\begin{equation*}c_3 = \sqrt{c^2 + v^2} \end{equation*}$

Досліди Майкельсона й Морлі показали, що швидкість поширення світла в будь-якому випадку є однаковою.

Принцип Галілея-Ньютона, також, не узгоджувався з рівняннями Максвелла (1831-1879 р.), оскільки вони передбачали, що світло у вакуумі має точно визначену швидкість c.

Виникала суперечність між механікою та електродинамікою.

Початок XX ст.

Щоб пояснити сталість швидкості світла, голландський фізик Лоренц (1853-1928 р.) у 1895-1904 рр. увів нові математичні співвідношення, які пізніше дістали назву перетворення Лоренца:

(25) $\begin{equation*}x' = \gamma(x - vt) \end{equation*}$

(26) $\begin{equation*}y' = y \end{equation*}$

(27) $\begin{equation*}z' = z \end{equation*}$

(28) $\begin{equation*}t' = \gamma(t - \frac{vx}{c^2}) \end{equation*}$

(29) $\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

v – швидкість руху однієї системи відліку відносно іншої, м/с, c – швидкість світла у вакуумі, м/с, – фактор Лоренца або релятивістський множник.

Ці співвідношення описують, як змінюються просторові координати та час при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої, та стали математичним фундаментом спеціальної теорії відносності Ейнштейна.

2.2. Постулати СТВ

Спеціальна теорія відносності (СТВ) – це фізична теорія, створена Альбертом Ейнштейном (див. рис. 1) у 1905 році для опису руху тіл, які рухаються зі швидкостями, близькими до швидкості світла.

Джерело: https://www.space.com/15524-albert-einstein.html

Альберт Ейнштейн використав у своїх роботах чисто логічний підхід:

Уявив себе на промені світла – подумав, що, якщо механічні закони залишаються справедливими у будь-якій інерціальній системі, то закони електродинаміки теж мають «підкорятися» такому принципу;
поставив питання: «що буде, якщо спостерігач рухається відносно світлової хвилі?»;
розуміння: класичне додавання швидкостей призводить до внутрішніх суперечностей (наприклад, швидкість світла могла б виявитися більшою чи меншою).

Ейнштейн зробив два принципові припущення – постулати.

Перший постулат – принцип відносності:

«Усі закони фізики мають однаковий вигляд у всіх інерціальних системах відліку».

Інерціальна система відліку – це система, яка рухається рівномірно та прямолінійно (не прискорюється) відносно інших подібних систем. Не існує «особливої» системи, що перебуває у стані абсолютного спокою.

Це означає, що можна говорити лише про рух відносно інших тіл. Якщо спостерігач рухається в прямолінійній рівномірній системі, він не зможе визначити, чи рухається його система чи перебуває у спокої, лише через внутрішні експерименти.

Другий постулат – незмінність швидкості світла:

«Швидкість світла у вакуумі однакова для всіх інерціальних спостерігачів, незалежно від того, рухається джерело світла чи спостерігач».

Навіть якщо ви рухаєтеся назустріч світловому променю або у тому самому напрямку, ви все одно виміряєте швидкість світла як

2.3. Релятивістський закон додавання швидкостей

У класичній механіці швидкості додаються за формулою:

(30) $\begin{equation*}u = u' + v \end{equation*}$

де u – швидкість тіла відносно нерухомої системи відліку, м/с, ú –швидкість тіла відносно рухомої системи відліку, м/с, v – швидкість рухомої системи відліку відносно нерухомої, м/с.

У СТВ діє інший закон додавання швидкостей – релятивістський:

(31) $\begin{equation*}u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} \end{equation*}$

2.4. Наслідки постулатів

Відносність одночасності подій

У класичній механіці вважалося, що одночасність абсолютна:

«Якщо дві події відбулися одночасно для одного спостерігача, вони відбулися одночасно для всіх».

У СТВ це не так.

Потяг Ейнштейна

Уявний експеримент Альберта Ейнштейна, що пояснює концепцію відносності одночасності згідно з яким, одночасність подій залежить від системи відліку спостерігача (див. рис. 2).

Джерело: https://gemini.google.com/

Спостерігач стоїть на землі. У момент, коли середина потяга проходить повз нього, в обидва кінці потяга вдаряють блискавки.

Для спостерігача на землі відстань до обох кінців однакова, світло від блискавок доходить одночасно.

Події «спалахи в обох кінцях» є одночасними в системі Землі.

Для пасажира в потязі ситуація інша. Потяг рухається вперед. Тому світло від блискавки, що вдарила попереду потяга, має пройти меншу відстань до пасажира (бо він рухається назустріч світлу), ніж світло від блискавки позаду (бо пасажир віддаляється від нього).

У результаті пасажир бачить передній спалах раніше, ніж задній. Для нього події не одночасні.

Сповільнення часу

Рухомий годинник іде повільніше.

Якщо ракета летить з великою швидкістю

v, то для космонавтів всередині час іде «нормально», але для людей на Землі їхні годинники відстають:

(32) $\begin{equation*}t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}$

де t₀ – власний час – час, виміряний у системі, де тіло покоїться в спокої (час у ракеті), t – час у зовнішній системі – час, виміряний спостерігачем, який бачить ракету, що рухається (час для спостерігача на Землі).

Цей ефект дуже важко виміряти в людському масштабі, оскільки він значною мірою проявляється лише при наближенні до швидкості світла. Тим не менш, у 1971 році фізики Джозеф Хафеле та Річард Кітінг встановили атомні годинники на борту реактивних літаків і відправили їх у політ по всьому світу. Коли годинники повернулися, вони були несинхронізовані з наземним годинником саме на величину, передбачену спеціальною теорією відносності.

Парадокс близнюків

Коли астронавт Скотт Келлі провів майже рік на борту Міжнародної космічної станції починаючи з 2015 року, він рухався набагато швидше, ніж його брат-близнюк, астронавт Марк Келлі, який провів рік на поверхні планети (див. рис. 3).

Через уповільнення часу Марк Келлі старів швидше за Скота – на п’ять мілісекунд в рік.

Оскільки Скотт не рухався зі швидкістю, близькою до швидкості світла, фактична різниця у старінні через уповільнення часу була незначною.

Джерело: https://www.space.com/36273-theory-special-relativity.html

Часовий парадокс GPS

Незважаючи на абстрактне звучання, спеціальна теорія відносності впливає на сучасне життя, особливо на супутники GPS.

Ці супутники повинні відстежувати неймовірно точний час, щоб точно визначити місцезнаходження на планеті, тому вони працюють на основі атомних годинників. Але оскільки ці атомні годинники знаходяться на борту супутників, які постійно проносяться космосом зі швидкістю 14000 км/год, спеціальна теорія відносності вказує, що вони щодня відстають на 7 мікросекунд.

Щоб підтримувати темп із земними годинниками, атомні годинники на GPS-супутниках повинні щодня віднімати 7 мікросекунд.

Скорочення довжини

Ефект скорочення довжин полягає в тому, що повздовжня довжина тіла, що рухається в поздовжньому напрямі із швидкістю v дорівнює:

(33) $\begin{equation*}l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{equation*}$

де l₀ – власна довжина – виміряна у системі, де тіло покоїться в спокої (довжина тіла в ракеті), l – довжина у зовнішній системі – виміряна спостерігачем, який бачить ракету, що рухається (довжина для спостерігача на Землі).

Один із наслідків скорочення довжини був запропонований у 1959 році фізиками Джеймсом Терреллом та Роджером Пенроузом.

Відомий як ефект Террелла-Пенроуза, він передбачав, що об’єкти, що рухаються зі швидкістю, близькою до швидкості світла, повинні виглядати перевернутими.

3. Практичний блок

Завдання № 1

(ЗНО 2016 – додаткова сесія)

Згідно зі спеціальною теорією відносності в рухомій і нерухомій системах відліку:

А) час плине однаково, швидкість світла у вакуумі має різні значення;
Б) час плине однаково, швидкість світла у вакуумі має однакові значення;
В) час плине по-різному, швидкість світла у вакуумі має різні значення;
Г) час плине по-різному, швидкість світла у вакуумі має однакові значення.

Завдання № 2

(ЗНО 2015 – додаткова сесія)

Яку швидкість повинно мати тіло, щоб уздовж лінії руху його поздовжні розміри для спостерігача в нерухомій лабораторній системі відліку зменшилися на 20 %? Вважайте, що швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі c=3×10⁸ м/с.

Завдання № 3

(ЗНО 2017 – основна сесія)

З ракети, що рухається відносно Землі зі швидкістю 0,5с (с – швидкість світла у вакуумі), запустили в напрямку її руху космічний катер. Він рухається відносно ракети також зі швидкістю 0,5с. Визначте, у скільки разів швидкість цього катера відносно Землі менша за швидкість світла у вакуумі.

Завдання № 4

(ЗНО 2019 – основна сесія)

Мюон – елементарна частинка, що виникає у верхніх шарах атмосфери, тривалість її «життя» τ₀=2,2 мкс. Згідно зі спеціальною теорією відносності, час «життя» частинки відносно спостерігача на Землі збільшується за формулою

(34) $\begin{equation*}l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{equation*}$

де c=3⋅10⁸м/с – швидкість світла у вакуумі.Яку відстань відносно Землі пролетить мюон, якщо рухатиметься зі швидкістю v=0,8c? Відповідь запишіть у метрах (м).

Завдання № 5

(Скорочення довжини)

Пасажирський космічний корабель, довжина якого у стані спокою l0=120 м, пролітає повз космічну станцію зі швидкістю v=0,8c, де c=3×10⁸ м/с– швидкість світла. Яку довжину корабля спостерігає оператор станції? На скільки метрів скоротилася довжина корабля порівняно зі станом спокою?

4. Попрактикуймо самостійно

Міні-дослід: «Визначення часу відставання сигналу»

Мета: визначити, як швидкість руху спостерігача впливає на час, за який він отримує сигнал, що був надісланий одночасно з двох точок.

Обладнання: доступ до онлайн-симуляції: https://javalab.org/en/relativity-of-simultaneity/

Хід роботи:

Відкрийте симуляцію за наданим посиланням.
У налаштуваннях симуляції виберіть швидкість руху спостерігача.
Натисніть кнопку «Запустити» для ініціації події.
Спостерігайте за тим, як два сигнали (світлові промені) досягають спостерігача.
Визначте, який сигнал досягає спостерігача першим, і зафіксуйте час відставання.
Повторіть експеримент для різних значень швидкості руху спостерігача.
Порівняйте отримані результати та зробіть висновки.

№ досліду	Швидкість спостерігача, км/с	Час досягнення сигналу 1, с	Час досягнення сигналу 2, с	Час відставання Δt, с
1	100 000
2	150 000
3	200 000

Рефлексія

«5 балів»

Оціни від 1 до 5 балів тези:

«Я можу пояснити, у чому полягає принцип відносності та чому швидкість світла стала»

Твій бал _________

«Я розумію, як час і довжина змінюються при русі зі швидкістю, близькою до швидкості світла»

Твій бал _________

«Я вмію застосовувати формули для обчислення релятивістського часу, довжини та маси»

Твій бал _________

«Я можу навести приклади проявів ефектів СТВ у техніці, космосі чи GPS-системах»

Твій бал _________

«Я усвідомлюю, як ідеї Ейнштейна змінили наше уявлення про простір і час»

Твій бал _________

У вільний від відпочинку час

Прогляньте відео https://youtu.be/95ZeOFYFcUk?si=h_YU77cG-UksdAtc

Відео

та сформуйте 3 питання з теми «Основні положення СТВ та їх наслідки»:

Які два основні постулати спеціальної теорії відносності формулює Ейнштейн у відео?
Як у відео пояснюється, що швидкість світла є тією межею, яку не можна перевершити?
Які парадоксальні або неінтуїтивні наслідки теорії (наприклад, щодо часу чи довжини) згадуються у відео – і як їх пояснюють?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Завантажити матеріал (PDF)

Ділись та обговорюй важливе