Тема 2. Тема 2

матеріал 4

Рівняння неперервності. Рівняння Бернуллі

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 80. Рівняння неперервності. Рівняння Бернуллі

Очікувані результати навчання

формулює самостійно або у співпраці з іншими проблему дослідження [12 ПРО 1.1.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими мету дослідження [12 ПРО 1.2.1]
формулює та обґрунтовує самостійно або у співпраці з іншими гіпотези відповідно до проблеми і мети дослідження, визначає завдання [12 ПРО 1.2.2]
створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12ПРО 1.4.1]
здійснює самостійно або у співпраці з іншими дослідження, фіксує результати [12 ПРО 1.4.2]
опрацьовує та аналізує самостійно або у співпраці з іншими результати дослідження [12 ПРО 1.5.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими висновки за результатами досліджень та обґрунтовує їх [12 ПРО 1.5.2]
добирає самостійно або у співпраці з іншими форми подання інформації і її перетворення [12 ПРО 2.2.1]
порівнює, аналізує самостійно або у співпраці з іншими природні і техногенні об’єкти, явища і процеси на основі наукових методів пізнання та законів природи [12 ПРО 3.1.1]
ідентифікує, формулює та аналізує самостійно або у співпраці з іншими життєву/навчальну проблему [12 ПРО 4.2.1]

Мета уроку: сформувати цілісне уявлення про закономірності руху рідин, навчити застосовувати рівняння неперервності та Бернуллі для аналізу технічних і біологічних процесів; розвивати критичне мислення та вміння досліджувати фізичні явища.

Очікувані результати для вчителя:

учні володіють поняттями стаціонарний потік, швидкість потоку, гідростатичний та динамічний тиск;
застосовують рівняння неперервності та Бернуллі в типових і практичних ситуаціях;
розуміють приклади з авіації, судинної медицини та побуту.

Очікувані результати для учнівства:

пояснюють рівняння неперервності потоку;
формулюють фізичний зміст рівняння Бернуллі;
пояснюють зв’язок тиску, швидкості та висоти в потоці рідини;
аналізують приклади з техніки, медицини та біології;
розв’язують задачі різного рівня складності;
формулюють висновки на основі розрахунків.

Ключові слова:

потік рідини
рівняння неперервності
рівняння Бернуллі
гідростатичний тиск
динамічний тиск

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Рівняння неперервності
2.2. Рівняння Бернуллі
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв.

Проблемне питання

Чому при затисканні шлангу струмінь б’є далі?

Джерело: https://gemini.google.com/

Відповідь:

При затисканні шланга струмінь б’є далі через закон неперервності струменя та рівняння Бернуллі: оскільки вода є практично нестисливою рідиною, при зменшенні площі поперечного перерізу вихідного отвору швидкість потоку в цьому місці різко зростає, щоб забезпечити проходження того самого об’єму води. З погляду енергії, статичний тиск води всередині шланга перетворюється на кінетичну енергію (енергію руху) у вузькому місці, що дозволяє струменю вилітати з більшою швидкістю.

Як вимірюють швидкість крові у судинах?

Джерело: https://chatgpt.com/

Відповідь:

Для вимірювання швидкості крові в судинах найчастіше використовують ультразвукову доплерографію, яка базується на ефекті Доплера: ультразвукові хвилі відбиваються від рухомих еритроцитів, змінюючи свою частоту залежно від швидкості їхнього руху. Отримані дані прилад перетворює на візуальний графік (спектрограму) або кольорове зображення, де лікар може точно визначити швидкість кровотоку в сантиметрах за секунду. У складніших випадках використовують фазово-контрастну МРТ, яка дозволяє кількісно оцінити об’єм та швидкість крові в глибоко розташованих судинах без використання датчика на шкірі. Ці методи дозволяють виявити звуження (стенози), оскільки в місці звуження швидкість крові різко зростає, подібно до того, як прискорюється струмінь води при затисканні кінця шланга.

2. Теоретичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 20 хв.

Почніть урок із ситуацій, які знайомі учням:

Чому вода з душу або шлангу летить сильніше, якщо прикрити пальцем отвір?

Чому при звуженні річки течія стає швидшою?

Як працюють пульверизатори (розпилювачі)?

Чому у звужених судинах (стенозах) кров рухається швидше?

Як створюється підйомна сила крила літака?

Ці приклади допоможуть учням зрозуміти, що швидкість і тиск у потоці змінюються закономірно, а не хаотично.

2.1. Рівняння неперервності

У природі та техніці ми дуже часто зустрічаємося з явищем, коли деяка речовина або її частинки рухаються впорядковано в певному напрямку.

Цей організований, спрямований рух і називається потоком.

Потік або струмінь – це впорядкований рух рідини або газу вздовж певного напрямку, коли частинки середовища проходять через обраний поперечний переріз (див. рис. 1).

Джерело: https://chatgpt.com/

Дружня порада вчителю

Використайте прості демонстрації:

Потік рідини зі шприца або пляшки.

Попросіть учнів звернути увагу на форму й стабільність струменя.

Гідродинаміка – це розділ механіки суцільних середовищ, що вивчає рух рідин та газів, а також їхню взаємодію з твердими тілами.

Навіть ідеально рівний струмінь через деяку відстань розпадається на окремі краплі. Це явище називається нестійкістю Релея-Плато. Сили поверхневого натягу намагаються мінімізувати площу поверхні рідини, тому циліндричний струмінь стає енергетично невигідним і перетворюється на сферу (краплю).

Швидкість потоку v– показує, з якою швидкістю рідина рухається в даній точці.

Площа поперечного перерізу S – визначає, через «який отвір» проходить рідина.

Витрата потоку Q – це кількість рідини, що проходить через поверхню за 1 секунду:

(1) $\begin{equation*}Q = S \cdot v \end{equation*}$

Одиниці: м³/с, л/хв, мл/с. У медицині: об’ємний кровотік – мл/хв через певну судину.Нехай є труба змінного діаметра, через яку проходить рідина (див. рис. 2)

Дружня порада вчителю

Покажіть схему труби змінного діаметра. Зробіть акцент:

у вузькій частині менша площа – більша швидкість;

у широкій більша площа – менша швидкість.

Наголосіть, що кількість рідини, яка проходить за секунду, не змінюється.

Джерело: https://chatgpt.com/

За малий час t рідина в точці 1 рухається зі швидкістю v₁, а в точці 2 зі швидкістю v₂. За цей час пройдена довжина буде:

(2) $\begin{equation*}\Delta l_1 = v_1 \cdot \Delta t, \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}\Delta l_2 = v_2 \cdot \Delta t, \end{equation*}$

Об’єм рідини, що пройшов у точці 1:

(4) $\begin{equation*}\Delta V_1 = S_1 \cdot \Delta l_1 = S_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t \end{equation*}$

Аналогічно для точки 2:

(5) $\begin{equation*}\Delta V_2 = S_2 \cdot v_2 \cdot \Delta t \end{equation*}$

Якщо рідина незтискаєма (густина не змінюється), об’єми, що входять і виходять, однакові:

(6) $\begin{equation*}\Delta V_1 = \Delta V_2 \end{equation*}$

Звідси:

(7) $\begin{equation*}S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2 \end{equation*}$

рівняння неперервності.

Коли поперечний переріз S зменшується – швидкість рідини v збільшується. Коли переріз збільшується – швидкість падає.

Тому вода у широкій частині шлангу тече повільно, а у вузькій частині – швидко.

Зменшення діаметра насадки пожежного рукава з 50 мм до 20 мм збільшує швидкість потоку в декілька разів і струмінь води б’є на десятки метрів.

Дружня порада вчителю

Поясніть рівняння Бернуллі через досліди.

1) Дослід із двома підвішеними кульками.

Дві кульки на нитках: подмухати між ними – вони зближуються.

Причина – зниження тиску між кульками.

Поясніть:

p – «спокійний» тиск рідини, діє на стінки;

1/2pv²– тиск руху (чим швидше – тим більша кінетична складова);

pgh – тиск через висоту.

Акцентуючі питання

Чому тиск у вузькій частині труби менший?

Чому пульверизатор засмоктує рідину з резервуара?

Чому літаки здатні підійматися, хоча важчі за повітря?

Де тиск буде більший – під крилом чи над ним?

Що станеться з тиском у крові за різкого звуження артерії?

Запропонуйте учням пошук прикладів:

У техніці

карбюратори та інжектори;

компресорні системи;

розпилювачі фарби;

гідравлічні системи;

підйомна сила крила літака.

У медицині

прискорення крові в місці стенозу;

вимірювання потоку крові методом доплера;

аневризми та падіння тиску в розширених частинах судин;

робота серцевих клапанів.

У побуті

душові лійки;

чайники з вузькими носиками;

пилососи;

вентилятори.

Акцентуючі питання

Що приводить до збільшення швидкості крові в артерії?

Чому при швидшому потоці тиск падає?

Чи завжди менша швидкість означає більший тиск?

Чому після звуження судин виникає турбулентність і шум?

Яку інформацію може дати лікарю доплерівське УЗД?

2.2. Рівняння Бернуллі

Після того як ми з’ясували, що в потоці рідини швидкість змінюється залежно від площі перерізу труби, постає важливе запитання: як при цьому змінюється тиск у потоці?.

Адже в реальних умовах – у водопроводі, у побутових пристроях, у техніці та навіть у кровоносній системі людини – одночасно відбуваються і зміни швидкості, і зміни тиску.

Ще у XVIII столітті Даніель Бернуллі показав, що в стаціонарному потоці рідини тиск, швидкість і висота взаємопов’язані між собою так, що сума їхніх енергій залишається сталою:

(8) $\begin{equation*}p + \frac{1}{2}\rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot h = const \end{equation*}$

де p – статичний тиск, Па, – густина рідини, кг/м³, v – швидкість потоку, м/с, g – прискорення вільного падіння, м/с², h – висота точки потоку над рівнем відліку, м.

Три типи енергії потоку:

Статичний тиск p. Енергія тиску, що діє на стінки труби – тиск у водопровідній трубі, тиск крові.
Кінетична енергія1/2 ρv2 зростає, коли рідина рухається швидше –потік у вузькій частині труби.
Потенціальна (гідростатична) ρgh важлива у вертикальних трубах або судинах.

Швидка рідина має малий тиск, повільна рідина – більший тиск.

У широкій частині труби потік повільний, молекули тиснуть на стінки сильніше, а у вузькій частині молекули «поспішають уперед», тому рідше вдаряються об стінки.

Рівняння Бернуллі між двома точками (див. рис. 3):

(9) $\begin{equation*}p_1 + \frac{1}{2}\rho \cdot v_1^2 + \rho \cdot g \cdot h_1 = p_2 + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + \rho \cdot g \cdot h_2 \end{equation*}$

Підйомна сила крила є прикладом реалізації рівняння Бернуллі.

Потік над крилом довший, тому повітря рухається швидше – тиск зменшується і виникає підйомна сила (див. рис. 4):

(10) $\begin{equation*}F = \Delta p \cdot S \end{equation*}$

де F – підйомна сила, Н, p – різниця тисків над і під крилом, Па, S – площа крила, м².

У звуженні судин швидкість крові різко зростає:

(11) $\begin{equation*}v \uparrow \implies p \downarrow \end{equation*}$

Це дає змогу лікарям вимірювати стенози за допомогою ефекта Доплера: різниця швидкостей – різниця тисків – ступінь звуження.

Розпилювач парфумів або пульверизатор працює завдяки тому, що у верхній частині створюється швидкий потік повітря. Коли повітря проходить через вузький канал сопла, його швидкість різко збільшується, а статичний тиск падає. В області зниженого тиску рідина з резервуара «підтягується» вгору по трубці і захоплюється повітряним потоком. На виході з сопла вона розбивається на дрібні краплини, утворюючи аерозоль.

У карбюраторі бензинових двигунів існує спеціальне звуження – дифузор або сопло Вентурі. Коли повітря проходить через це звуження, його швидкість збільшується, а тиск різко падає. Внаслідок зниження тиску паливо з поплавкової камери всмоктується через жиклер у потік повітря та утворює дрібнодисперсну паливно-повітряну суміш.

Рівняння Бернуллі НЕ працює, якщо:

рідина сильно в’язка (мед, фарба);
потік несталий (різкі відкривання крану);
є великі втрати енергії на тертя;
є турбулентність.

Проте для води та крові при звичайних умовах рівняння працює дуже добре.

Комбінація рівняння неперервності та Бернуллі дає системне розуміння потоку:

(12) $\begin{equation*}S \downarrow \implies v \uparrow \implies p \downarrow \end{equation*}$

– головний закон гідродинаміки

3. Практичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 15 хв.

Завдання № 1

(Рівняння неперервності)

Через трубу протікає вода. Площа поперечного перерізу на вході 20 см2, швидкість 1,5 м/с. Труба звужується до 5 см2. Знайти швидкість у вузькій частині.

Відповідь:

(13) $\begin{equation*}S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2 \end{equation*}$

S1 = 20 см2 – площа поперечного перерізу на вході,
v1=1,5 м/с – швидкість потоку на вході,
S2=5 см2 – площа поперечного перерізу на виході.

Завдання № 2

(Рівняння неперервності)

У нормальній судині людини площа поперечного перерізу 1 см², а у звуженій може бути 0,5 см². Швидкість крові до звуження 0,4 м/с. Знайти швидкість крові у звуженій судині.

Відповідь:

(14) $\begin{equation*}p + \frac{1}{2}\rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot h = const \end{equation*}$

S1 = 1 см2 – площа поперечного перерізу здорової судини,
v1=0,4 м/с – швидкість крові в здоровій судині,
S2=0,5 см2 – площа поперечного перерізу звуженої судини.

Завдання № 3

(Рівняння Бернуллі)

У горизонтальній трубі є звуження. Швидкість у широкій частині 2 м/с, а тиск 101 кПа. Швидкість у вузькій частині 6 м/с. Знайти тиск у вузькій частині (густина води 1000 кг/м³).

Відповідь:

(15) $\begin{equation*}p_1 + \frac{1}{2}\rho \cdot v_1^2 + \rho \cdot g \cdot h_1 = p_2 + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + \rho \cdot g \cdot h_2 \end{equation*}$

p1=101∙103 Па – тиск в широкій частині труби,
v1=2 м/с – швидкість у широкій частині,
v2=6 м/с – швидкість у вузькій частині,
ρ=1000 кг/м³ – густина води.

(16) $\begin{equation*}p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*}p_2 = p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} - \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} = p_1 + \frac{\rho}{2} \cdot (v_1^2 - v_2^2) \end{equation*}$

Завдання № 4

(Авіація)

Швидкість повітря над крилом літака 60 м/с, а під крилом 40 м/с. Густина повітря 1,2 кг/м³.Знайти різницю тисків на крилі та підйомну силу на 1 м².

Відповідь:

(18) $\begin{equation*}p_1 + \frac{1}{2}\rho \cdot v_1^2 + \rho \cdot g \cdot h_1 = p_2 + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + \rho \cdot g \cdot h_2 \end{equation*}$

(19) $\begin{equation*}F = \Delta p \cdot S \end{equation*}$

v1=60 м/с – швидкість повітря над крилом літака,
v2=40 м/с – швидкість повітря під крилом літака,
ρ=1,2 кг/м³ – густина повітря.
S = 1 м2 – площа поверхні.

(20) $\begin{equation*}\Delta p = p_2 - p_1 \end{equation*}$

(21) $\begin{equation*}p_1 + \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*}p_2 - p_1 = \frac{\rho}{2} \cdot (v_1^2 - v_2^2) \end{equation*}$

(23) $\begin{equation*}F = 1200 \cdot 1 = 1200 \text{ H} \end{equation*}$

Завдання № 5

(Рівняння неперервності)

Брижова артерія собаки діаметром 3 мм розгалужується в кінцевому рахунку 47300000 капілярів діаметром 8 мкм. Швидкість плину крові в артерії 16,8 см/с. З якою швидкістю рухається кров по капілярах?

Відповідь:

(24) $\begin{equation*}p + \frac{1}{2}\rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot h = const \end{equation*}$

d1=3 мм=310-3 м – діаметр артерії собаки,
d2=8 мкм=810-6 м – діаметр капілярів,
v1=16,8 см/с = 16,810-2 м/с – швидкість крові в артерії,
n=47300000 – кількість капілярів.

(25) $\begin{equation*}S_1 \cdot v_1 = n \cdot S_2 \cdot v_2 \end{equation*}$

(26) $\begin{equation*}S = \pi \cdot r^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \end{equation*}$

(27) $\begin{equation*}\frac{\pi \cdot d_1^2}{4} \cdot v_1 = n \cdot \frac{\pi \cdot d_2^2}{4} \cdot v_2 \end{equation*}$

(28) $\begin{equation*}v_2 = \frac{v_1 \cdot d_1^2}{n \cdot d_2^2} = \frac{v_1}{n} \cdot \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 \end{equation*}$

4. Попрактикуймо самостійно

Дружня порада вчителю

Тривалість до 5 хв.

Варіант № 1

Міні-дослід: «Як змінюється швидкість води при звуженні потоку?»

Мета: показати, як зміна площі поперечного перерізу трубки впливає на швидкість рідини.

Матеріали:

пляшка з водою

пластикова трубочка (тонка і широка)

ножиці

Інструкція:

Зробіть невеликий отвір у пляшці та спостерігайте, як вода витікає вільно. Вода утворює струмінь, швидкість якого визначається висотою води в пляшці.

Тепер вставте трубочку з меншим діаметром у отвір.

Дайте воді витікати та спостерігайте: струмінь стає більш «високим» і витікає швидше.

Фізичне пояснення:

(29) $\begin{equation*}S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2 \end{equation*}$

Якщо переріз зменшується (S2<S1), швидкість рідини повинна збільшитися (v2>v1), щоб зберегти об’ємний потік Q=S⋅v постійним.

Варіант № 2

Міні-дослід: «Демонстрація ефекту Бернуллі за допомогою паперу»

Мета: показати, як швидкість повітря впливає на тиск і підйом предметів.

Матеріали:

смужка паперу (1-2 см шириною, 10-15 см довжиною)

Інструкція:

Візьміть смужку паперу та підніміть її до рота горизонтально.

Подмухайте над верхньою поверхнею смужки.

Спостерігайте: смужка піднімається догори.

Фізичне пояснення:

Ефект Бернуллі: для потоку рідини або газу сума кінетичної та потенційної енергії та тиску залишається постійною:

(30) $\begin{equation*}p + \frac{1}{2}\rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot h = const \end{equation*}$

Коли повітря над папером рухається швидше (v зростає), тиск там зменшується (p падає).

Під папером тиск залишається більшим – різниця тисків піднімає папір догори.

Варіант № 1

Міні-дослід: «Як змінюється швидкість води при звуженні потоку?»

Мета: показати, як зміна площі поперечного перерізу трубки впливає на швидкість рідини.

Матеріали:

пляшка з водою
пластикова трубочка (тонка і широка)
ножиці

Інструкція:

Зробіть невеликий отвір у пляшці та спостерігайте, як вода витікає вільно. Вода утворює струмінь, швидкість якого визначається висотою води в пляшці.
Тепер вставте трубочку з меншим діаметром у отвір.
Дайте воді витікати та спостерігайте: струмінь стає більш «високим» і витікає швидше.
Фізичне пояснення.

Варіант № 2

Міні-дослід: «Демонстрація ефекту Бернуллі за допомогою паперу»

Мета: показати, як швидкість повітря впливає на тиск і підйом предметів.

Матеріали:

смужка паперу (1-2 см шириною, 10-15 см довжиною)

Інструкція:

Візьміть смужку паперу та підніміть її до рота горизонтально.
Подмухайте над верхньою поверхнею смужки.
Спостерігайте: смужка піднімається догори.
Фізичне пояснення.

Рефлексія

Дружня порада вчителю

Тривалість до 2 хв.

Заохочуйте учнів бути чесними та відвертими у своїх роздумах.

На уроці я зрозумів …
На уроці найцікавішим було …
На уроці мені було найважче …
У мене виникло запитання …

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

У вільний від відпочинку час

Дружня порада вчителю

Запропонуйте учням творче завдання з теми

Опишіть явища з вашого побуту, у яких можна спостерігати ефекти, що пояснюються законами Бернуллі або рівнянням неперервності.

Використайте не менше двох прикладів та поясніть фізичні причини.

Підказки:

Для Бернуллі шукайте ситуації, де швидкий потік повітря чи рідини змінює тиск і створює підйом або втягування.

Для рівняння неперервності шукайте ситуації, де зменшення перерізу трубки чи каналу збільшує швидкість потоку.

Форма відповіді:

Опишіть явище своїми словами.
Намалюйте невелику схему, якщо можливо.
Поясніть фізичну причину: яке правило Бернуллі або рівняння неперервності проявляється.

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 80. Рівняння неперервності. Рівняння Бернуллі

Очікувані результати навчання

Мета уроку: сформувати цілісне уявлення про закономірності руху рідин, навчити застосовувати рівняння неперервності та Бернуллі для аналізу технічних і біологічних процесів; розвивати критичне мислення та вміння досліджувати фізичні явища.

Очікувані результати для учнівства:

пояснюють рівняння неперервності потоку;
формулюють фізичний зміст рівняння Бернуллі;
пояснюють зв’язок тиску, швидкості та висоти в потоці рідини;
аналізують приклади з техніки, медицини та біології;
розв’язують задачі різного рівня складності;
формулюють висновки на основі розрахунків.

Ключові слова:

потік рідини
рівняння неперервності
рівняння Бернуллі
гідростатичний тиск
динамічний тиск

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Рівняння неперервності
2.2. Рівняння Бернуллі
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Чому при затисканні шлангу струмінь б’є далі?

Джерело: https://gemini.google.com/

Як вимірюють швидкість крові у судинах?

Джерело: https://chatgpt.com/

2. Теоретичний блок

2.1. Рівняння неперервності

У природі та техніці ми дуже часто зустрічаємося з явищем, коли деяка речовина або її частинки рухаються впорядковано в певному напрямку.

Цей організований, спрямований рух і називається потоком.

Потік або струмінь – це впорядкований рух рідини або газу вздовж певного напрямку, коли частинки середовища проходять через обраний поперечний переріз (див. рис. 1).

Джерело: https://chatgpt.com/

Гідродинаміка – це розділ механіки суцільних середовищ, що вивчає рух рідин та газів, а також їхню взаємодію з твердими тілами.

Навіть ідеально рівний струмінь через деяку відстань розпадається на окремі краплі. Це явище називається нестійкістю Релея-Плато. Сили поверхневого натягу намагаються мінімізувати площу поверхні рідини, тому циліндричний струмінь стає енергетично невигідним і перетворюється на сферу (краплю).

Швидкість потоку v– показує, з якою швидкістю рідина рухається в даній точці.

Площа поперечного перерізу S – визначає, через «який отвір» проходить рідина.

Витрата потоку Q – це кількість рідини, що проходить через поверхню за 1 секунду:

(31) $\begin{equation*}Q = S \cdot v \end{equation*}$

Одиниці: м³/с, л/хв, мл/с. У медицині: об’ємний кровотік – мл/хв через певну судину.Нехай є труба змінного діаметра, через яку проходить рідина (див. рис. 2)

Джерело: https://chatgpt.com/

За малий час t рідина в точці 1 рухається зі швидкістю v₁, а в точці 2 зі швидкістю v₂. За цей час пройдена довжина буде:

(32) $\begin{equation*}\Delta l_1 = v_1 \cdot \Delta t, \end{equation*}$

(33) $\begin{equation*}\Delta l_2 = v_2 \cdot \Delta t, \end{equation*}$

Об’єм рідини, що пройшов у точці 1:

(34) $\begin{equation*}\Delta V_1 = S_1 \cdot \Delta l_1 = S_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t \end{equation*}$

Аналогічно для точки 2:

(35) $\begin{equation*}\Delta V_2 = S_2 \cdot v_2 \cdot \Delta t \end{equation*}$

Якщо рідина незтискаєма (густина не змінюється), об’єми, що входять і виходять, однакові:

(36) $\begin{equation*}\Delta V_1 = \Delta V_2 \end{equation*}$

Звідси:

(37) $\begin{equation*}S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2 \end{equation*}$

рівняння неперервності.

Коли поперечний переріз S зменшується – швидкість рідини v збільшується. Коли переріз збільшується – швидкість падає.

Тому вода у широкій частині шлангу тече повільно, а у вузькій частині – швидко.

Зменшення діаметра насадки пожежного рукава з 50 мм до 20 мм збільшує швидкість потоку в декілька разів і струмінь води б’є на десятки метрів.

2.2. Рівняння Бернуллі

Після того як ми з’ясували, що в потоці рідини швидкість змінюється залежно від площі перерізу труби, постає важливе запитання: як при цьому змінюється тиск у потоці?.

Адже в реальних умовах – у водопроводі, у побутових пристроях, у техніці та навіть у кровоносній системі людини – одночасно відбуваються і зміни швидкості, і зміни тиску.

Ще у XVIII столітті Даніель Бернуллі показав, що в стаціонарному потоці рідини тиск, швидкість і висота взаємопов’язані між собою так, що сума їхніх енергій залишається сталою:

(38) $\begin{equation*}p + \frac{1}{2}\rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot h = const \end{equation*}$

де p – статичний тиск, Па, – густина рідини, кг/м³, v – швидкість потоку, м/с, g – прискорення вільного падіння, м/с², h – висота точки потоку над рівнем відліку, м.

Три типи енергії потоку:

Статичний тиск p. Енергія тиску, що діє на стінки труби – тиск у водопровідній трубі, тиск крові.
Кінетична енергія1/2 ρv2 зростає, коли рідина рухається швидше –потік у вузькій частині труби.
Потенціальна (гідростатична) ρgh важлива у вертикальних трубах або судинах.

Швидка рідина має малий тиск, повільна рідина – більший тиск.

У широкій частині труби потік повільний, молекули тиснуть на стінки сильніше, а у вузькій частині молекули «поспішають уперед», тому рідше вдаряються об стінки.

Рівняння Бернуллі між двома точками (див. рис. 3):

(39) $\begin{equation*}p_1 + \frac{1}{2}\rho \cdot v_1^2 + \rho \cdot g \cdot h_1 = p_2 + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + \rho \cdot g \cdot h_2 \end{equation*}$

Підйомна сила крила є прикладом реалізації рівняння Бернуллі.

Потік над крилом довший, тому повітря рухається швидше – тиск зменшується і виникає підйомна сила (див. рис. 4):

(40) $\begin{equation*}F = \Delta p \cdot S \end{equation*}$

де F – підйомна сила, Н, p – різниця тисків над і під крилом, Па, S – площа крила, м².

У звуженні судин швидкість крові різко зростає:

(41) $\begin{equation*}v \uparrow \implies p \downarrow \end{equation*}$

Це дає змогу лікарям вимірювати стенози за допомогою ефекта Доплера: різниця швидкостей – різниця тисків – ступінь звуження.

Розпилювач парфумів або пульверизатор працює завдяки тому, що у верхній частині створюється швидкий потік повітря. Коли повітря проходить через вузький канал сопла, його швидкість різко збільшується, а статичний тиск падає. В області зниженого тиску рідина з резервуара «підтягується» вгору по трубці і захоплюється повітряним потоком. На виході з сопла вона розбивається на дрібні краплини, утворюючи аерозоль.

У карбюраторі бензинових двигунів існує спеціальне звуження – дифузор або сопло Вентурі. Коли повітря проходить через це звуження, його швидкість збільшується, а тиск різко падає. Внаслідок зниження тиску паливо з поплавкової камери всмоктується через жиклер у потік повітря та утворює дрібнодисперсну паливно-повітряну суміш.

Рівняння Бернуллі НЕ працює, якщо:

рідина сильно в’язка (мед, фарба);
потік несталий (різкі відкривання крану);
є великі втрати енергії на тертя;
є турбулентність.

Проте для води та крові при звичайних умовах рівняння працює дуже добре.

Комбінація рівняння неперервності та Бернуллі дає системне розуміння потоку:

(42) $\begin{equation*}S \downarrow \implies v \uparrow \implies p \downarrow \end{equation*}$

– головний закон гідродинаміки

3. Практичний блок

Завдання № 1

(Рівняння неперервності)

Через трубу протікає вода. Площа поперечного перерізу на вході 20 см2, швидкість 1,5 м/с. Труба звужується до 5 см2. Знайти швидкість у вузькій частині.

Завдання № 2

(Рівняння неперервності)

У нормальній судині людини площа поперечного перерізу 1 см², а у звуженій може бути 0,5 см². Швидкість крові до звуження 0,4 м/с. Знайти швидкість крові у звуженій судині.

Завдання № 3

(Рівняння Бернуллі)

У горизонтальній трубі є звуження. Швидкість у широкій частині 2 м/с, а тиск 101 кПа. Швидкість у вузькій частині 6 м/с. Знайти тиск у вузькій частині (густина води 1000 кг/м³).

Завдання № 4

(Авіація)

Швидкість повітря над крилом літака 60 м/с, а під крилом 40 м/с. Густина повітря 1,2 кг/м³.Знайти різницю тисків на крилі та підйомну силу на 1 м².

Завдання № 5

(Рівняння неперервності)

Брижова артерія собаки діаметром 3 мм розгалужується в кінцевому рахунку 47300000 капілярів діаметром 8 мкм. Швидкість плину крові в артерії 16,8 см/с. З якою швидкістю рухається кров по капілярах?

4. Попрактикуймо самостійно

Варіант № 1

Міні-дослід: «Як змінюється швидкість води при звуженні потоку?»

Мета: показати, як зміна площі поперечного перерізу трубки впливає на швидкість рідини.

Матеріали:

пляшка з водою
пластикова трубочка (тонка і широка)
ножиці

Інструкція:

Зробіть невеликий отвір у пляшці та спостерігайте, як вода витікає вільно. Вода утворює струмінь, швидкість якого визначається висотою води в пляшці.
Тепер вставте трубочку з меншим діаметром у отвір.
Дайте воді витікати та спостерігайте: струмінь стає більш «високим» і витікає швидше.
Фізичне пояснення.

Варіант № 2

Міні-дослід: «Демонстрація ефекту Бернуллі за допомогою паперу»

Мета: показати, як швидкість повітря впливає на тиск і підйом предметів.

Матеріали:

смужка паперу (1-2 см шириною, 10-15 см довжиною)

Інструкція:

Візьміть смужку паперу та підніміть її до рота горизонтально.
Подмухайте над верхньою поверхнею смужки.
Спостерігайте: смужка піднімається догори.
Фізичне пояснення.

Рефлексія

На уроці я зрозумів …
На уроці найцікавішим було …
На уроці мені було найважче …
У мене виникло запитання …

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

У вільний від відпочинку час

Опишіть явища з вашого побуту, у яких можна спостерігати ефекти, що пояснюються законами Бернуллі або рівнянням неперервності.

Використайте не менше двох прикладів та поясніть фізичні причини.

Підказки:

Для Бернуллі шукайте ситуації, де швидкий потік повітря чи рідини змінює тиск і створює підйом або втягування.

Для рівняння неперервності шукайте ситуації, де зменшення перерізу трубки чи каналу збільшує швидкість потоку.

Форма відповіді:

Опишіть явище своїми словами.
Намалюйте невелику схему, якщо можливо.
Поясніть фізичну причину: яке правило Бернуллі або рівняння неперервності проявляється.

Завантажити матеріал (PDF)

Ділись та обговорюй важливе