Тема 3. Тема 3

матеріал 3

Найпростіші коливальні системи. Енергія коливань. Резонанс.

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 93. Найпростіші коливальні системи. Енергія коливань. Резонанс.

Очікувані результати навчання

створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12 ПРО 1.4.1]
добирає самостійно або у співпраці з іншими форми подання інформації і її перетворення [12 ПРО 2.2.1]
інтерпретує самостійно або у співпраці з іншими інформацію природничого змісту, представлену в різний спосіб [12 ПРО 2.2.2]
установлює та обґрунтовує самостійно або у співпраці з іншими взаємозв’язки між природними, техногенними об’єктами, закономірності явищ природи [12 ПРО 3.3.1]
виявляє емоційно-ціннісне ставлення до діяльності вчених і винахідників, їх внеску у прогрес людства [12 ПРО 3.4.2]
застосовує самостійно або у співпраці з іншими наукове знання і власний досвід для розв’язання життєвої/ навчальної проблеми [12 ПРО 4.3.2]

Мета уроку: сформувати в учнів цілісне уявлення про коливальні системи (математичний і пружинний маятники), їхні основні характеристики; навчити пояснювати й аналізувати явище резонансу на прикладах із природи, техніки та життя людини; розвивати вміння застосовувати фізичні закони для розв’язування якісних і розрахункових задач, критично оцінювати псевдонаукові твердження.

Очікувані результати для вчителя:

учні розрізняють математичний і пружинний маятники, вільні та вимушені коливання
учні пояснюють перетворення кінетичної та потенціальної енергій під час коливань і суть явища резонансу
учні встановлюють зв’язок між параметрами коливної системи
учні наводять приклади проявів коливань і резонансу в природі, техніці та організмі людини
учні аналізують реальні ситуації, пов’язані з резонансом, оцінюючи його користь і можливу небезпеку

Очікувані результати для учнівства:

розрізняє математичний і пружинний маятники, вільні та вимушені коливання
пояснює перетворення кінетичної та потенціальної енергій під час коливань і суть явища резонансу
встановлює зв’язок між параметрами коливальної системи
наводить приклади проявів коливань і резонансу в природі, техніці та організмі людини
аналізує реальні ситуації, пов’язані з резонансом, оцінюючи його користь і можливу небезпеку

Ключові слова:

коливальні рухи
коливальна система
маятник
математичний маятник
пружинний маятник
період коливань
частота коливань
амплітуда
положення рівноваги
сила пружності
сила тяжіння
жорсткість пружини
незатухаючі коливання
вільні коливання
вимушені коливання
власна частота
резонанс
резонансна крива
енергія коливань
кінетична енергія
потенціальна енергія
закон збереження енергії.

План уроку:

Мотивація
Теоретичний блок
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв.

Проблемне питання

Маятник Фуко (рис.1) — це особливий маятник, який наочно демонструє обертання Землі: площина його коливань повільно зміщується відносно поверхні планети. Найвідоміший маятник Фуко розташований у Пантеоні в Парижі — саме там у 1851 році Леон Фуко вперше публічно показав цей дослід. Довжина троса маятника становить приблизно 67 метрів, а маса кулі — близько 28 кілограмів. Завдяки такій довжині маятник коливається дуже стабільно, що дозволяє спостерігати повільне «повертання» площини його руху протягом доби.

Чому в Парижі маятник Фуко повертається на 11° за годину, а на екваторі не повертається взагалі?
А що було б, якби маятник Фуко підвісити на полюсі?
Чи можна побудувати маленький маятник Фуко в школі, і чому він не буде показувати обертання Землі так само точно, як великий?

Джерело: https://uk.wikipedia.org/

В 1850 р. Анжерський підвісний міст був зруйнований піхотним батальйоном, який ішов по ньому в ногу (рис.2). Міст розвалився, потягнувши за собою в прірву людей. Поясни причину аварії.

Джерело: https://uk.wikipedia.org/

Посилання на відео джерела:

https://www.youtube.com/watch?v=usf_PH2M4qU&t=103s

Відео

https://www.youtube.com/watch?v=cmj141UkAGM

Відео

2. Теоретичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 17 хв.

Продемонструйте учням коливальні системи: математичний та пружинний маятник на реальних демонстраціях. Якщо це неможливо скористайтеся симуляціями

https://phet.colorado.edu/uk/simulations/masses-and-springs-basics

https://phet.colorado.edu/uk/simulations/pendulum-lab

Додаткові симуляції:

https://javalab.org/en/spring_en/

https://javalab.org/en/spring_pendulum_en/

https://javalab.org/en/resonance_en/

Поясніть закон збереження енергії під час руху маятників через «обмін», а не формули. Акцентуйте увагу на тому, який вид енергії є максимальним у якому конкретному положенні.

Порівнюйте пружинний і математичний маятники. Акцентуйте увагу на тому, що:

різні сили повертають тіло назад;

але результат однаковий — повторюваний рух.

Це допомагає зрозуміти універсальність коливань.

Перед записом формул на період коливань пружинного та математичного маятника запитайте у учнів від яких саме параметрів можуть залежати періоди коливань. Записуйте всі запропоновані учнями варіанти, а після цього разом спростовуйте ті варіанти, від яких період коливань маятників не залежить.

Пояснюйте резонанс не як складний термін, а як ідею:

допомагаєш руху — він зростає;

заважаєш — зникає.

Гойдалка тут — ключовий приклад.

Обов’язково показуйте дві сторони резонансу.Кожен приклад одразу діліть на:

користь (музика, медицина, зв’язок);

шкода (мости, двигуни, авіація).

У природі ми постійно спостерігаємо рухи, які повторюються: серцебиття, дихання, хвилі на морі, хитання дерев від вітру, коливання мостів під час руху транспорту. Такі рухи називають коливальними, а самі тіла- коливальними системами. І такі системи є фундаментом роботи величезної кількості пристроїв — від годинників до сучасних сенсорів у смартфонах. Найпростішою коливальною системою є маятник — тіло, що може вільно коливатися під дією сили, яка повертає його у положення рівноваги. Маятник допомагає зрозуміти, як відбуваються періодичні процеси в техніці, природі й навіть в організмі людини.

Хоч люди помічали хитання підвісних предметів здавна, наукове дослідження маятників розпочалося у XVII столітті.
Коли італійський вчений Галілео Галілей спостерігав за хитанням люстри в Пізанському соборі (за легендою — під час служби), він зауважив, що період коливань майже не залежить від амплітуди, якщо кути невеликі. Це відкриття стало основою для створення маятникового годинника, який точніше вимірював час, ніж будь-які інші механізми того часу.

Пізніше Християн Гюйгенс розробив детальну теорію коливань маятника й побудував перші точні годинники у 1650-х роках.
Саме завдяки маятнику люди навчилися вимірювати час з великою точністю — без нього не було б морської навігації, астрономічних спостережень, сучасної метрології.

Сьогодні ти дізнаєшся про два види маятників: математичний та пружинний.

Пружинний маятник — це коливальна система, яка являє собою тіло, закріплене на пружині.

Розглянемо коливальний рух пружинного маятника, який являє собою візок масою m, з’єднаний із нерухомою вертикальною стінкою пружиною жорсткістю k (рис.3). Припускаємо, що силами тертя у цій системі можна знехтувати. У такому разі коливання будуть незатухаючими: їх амплітуда не зменшуватиметься з часом, а повна механічна енергія системи залишатиметься сталою.

Джерело: https://phet.colorado.edu/

Під час руху маятника відбувається перетворення енергії: потенціальна енергія деформації пружини переходить у кінетичну енергію візка й навпаки.

Під час коливань пружинного маятника повна механічна енергія системи залишається сталою, якщо силами тертя можна знехтувати. У процесі руху відбувається безперервне перетворення потенціальної енергії деформації пружини в кінетичну енергію руху візка і навпаки.

Маятник має найбільшу швидкість у положенні рівноваги, тому:

У цей момент візок рухається найбільш швидко, а пружина не деформована. У крайніх положеннях маятник зупиняється на мить, швидкість дорівнює нулю:

У цьому випадку деформація пружини максимальна.

З попередніх рівнянь, отриманих для коливань горизонтального пружинного маятника, видно, що прискорення в довільний момент часу пропорційне зміщенню:

(1) $\begin{equation*}a = -\omega^2 x\end{equation*}$

Водночас, у будь-якій точці траєкторії сила пружності напрямлена до положення рівноваги і прямо пропорційна зміщенню:

k — жорсткість пружини.

За другим законом Ньютона:

Прирівнявши обидва вирази для прискорення, отримуємо:

(2) $\begin{equation*}\omega^2 = \frac{k}{m} \text{ або } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\end{equation*}$

Оскільки

(3) $\begin{equation*}T = \frac{2\pi}{\omega}\end{equation*}$

То період вільних коливань пружного маятника буде дорівнювати

(4) $\begin{equation*}T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\end{equation*}$

Математичний маятник – це модель ідеальної коливальної системи.

Реальний нитяний маятник ( рис.4), що складається з невеликого тіла й довгої тонкої нерозтяжної нитки (наприклад, сталевого дроту), можна вважати математичним маятником. Цей маятник коливається під дією сили тяжіння і сили натягу нитки. За малих відхилень такого маятника від положення рівноваги (α < 5°) його коливання будуть гармонічними.

Закон збереження енергії в математичному маятнику

Якщо опором повітря можна знехтувати, то під час коливань повна механічна енергія математичного маятника залишається сталою. Під час руху відбувається безперервне перетворення потенціальної енергії положення (внаслідок підйому кульки проти сили тяжіння) у кінетичну енергію руху, і навпаки.

Найбільша швидкість маятника спостерігається у положенні рівноваги, тому маятник володіє тільки кінетичною енергією:

У крайніх верхніх положеннях маятник зупиняється на мить, швидкість дорівнює нулю. У цьому положенні маятник володіє тільки потенціальною енергією:

Відведемо маятник в крайнє праве положення. У цьому випадку рівнодійна сили тяжіння та сили натягу нитки напрямлена проти зміщення — до положення рівноваги. З малюнка видно, що за модулем ця рівнодійна дорівнює:

(5) $\begin{equation*}F = mg \sin \alpha\end{equation*}$

Оскільки кут відхилення малий, то дуга EA, по якій рухається кулька, мало відрізняється від півхорди BA, тому зміщення x = BA. Крім того для малих кутів виконується співвідношення

(6) $\begin{equation*}\sin \alpha \approx \text{tg} \alpha\end{equation*}$

З трикутника OBA:

(7) $\begin{equation*}\text{tg} \alpha = \frac{x}{l}\end{equation*}$

l — довжина нитки

Таким чином, проєкція рівнодійної, що діє на коливне тіло (оскільки вона напрямлена проти зміщення) описується формулою:

(8) $\begin{equation*}F_x = -\frac{mg}{l}x\end{equation*}$

Цей вираз аналогічний виразові для сили пружності

де роль коефіцієнта пружності k відіграє величина

(9) $\begin{equation*}\frac{mg}{l}\end{equation*}$

Однакові причини виникнення коливань ведуть до однакових результатів. Виведемо формулу періоду коливань математичного маятника так само, як ми це робили для пружинного маятника. Оскільки коливання математичного маятника є гармонічними, то прискорення в довільний момент часу пропорційне зміщенню:

(10) $\begin{equation*}a = -\omega^2 x\end{equation*}$

Водночас у будь-якій точці траєкторії рівнодійна F напрямлена до положення рівноваги і прямо пропорційна зміщенню:

(11) $\begin{equation*}F_x = -\frac{mg}{l}x\end{equation*}$

За другим законом Ньютона:

(12) $\begin{equation*}a = \frac{F}{m} = -\frac{g}{l}x\end{equation*}$

Прирівнюючи обидва вирази для прискорення, отримуємо:

(13) $\begin{equation*}\omega^2 = \frac{k}{m} \text{ або } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\end{equation*}$

Оскільки

(14) $\begin{equation*}T = \frac{2\pi}{\omega}\end{equation*}$

То період вільних коливань математичного маятника буде дорівнювати

(15) $\begin{equation*}T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\end{equation*}$

Джерело: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/11-klas-fizika-astronomiia-zasekina-2019-standart.pdf

Резонанс

Якщо коливальну систему вивести з положення рівноваги, то в ній виникнуть вільні коливання, частота яких не залежить від амплітуди. Частоту вільних коливань називають власною частотою коливань системи. Через втрати енергії вільні коливання є затухаючими. Щоб коливання не затухали, необхідно, щоб у систему періодично надходила енергія ззовні. Наприклад, щоб гойдалка не зупинялась, її необхідно підштовхувати через інтервали часу, кратні періоду коливань гойдалки. Такі коливання гойдалки будуть вимушеними.

Дослідимо деякі особливості вимушених коливань. Для цього проведемо такий дослід. Закріпимо між двох штативів трос і підвісимо до троса маятники різної довжини (рис.5).

Джерело: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/11-klas-fizika-astronomiia-zasekina-2019-standart.pdf

Виведемо зі стану спокою, наприклад, маятник Х, надамо йому можливість вільно коливатися (площина коливань маятника перпендикулярна до площини малюнка). Ці коливання спричинять коливання троса і змусять коливатись інші маятники. При цьому маятник С, що має таку саму довжину, а отже, і такий самий період, як і маятник Х, коливатиметься найсильніше; маятники В і D, періоди коливань яких близькі до періоду коливань маятника Х, коливатимуться дещо слабше, а маятники А й Е майже не коливатимуться.

Отже, якщо період (частота) коливань діючої сили дорівнює власному періоду (частоті) коливань коливальної системи, амплітуда вимушених коливань системи буде найбільшою. Це явище називають резонансом.

Резонанс — явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань, коли частота зовнішньої періодичної сили збігається із частотою власних коливань.

Явище резонансу зручно описувати за допомогою графіків.

Нижче представлений графік залежності амплітуди (А) вимушених коливань від частоти змінення зовнішньої сили () називають резонансною кривою. Власна частота коливань системи позначається 0 (рис.6).

Аналізуючи графіки, можна дійти висновків:

1) найбільша амплітуда коливань досягається тоді, коли частота зовнішньої змінної сили збігається з власною частотою коливань системи (ν=0 );

2) чим більша в системі сила тертя, тим меншим є пік резонансної кривої, тобто тим слабше виражений резонанс.

Резонанс може приносити як шкоду так і користь. У табл.1 можна ознайомитися з прикладами прояву резонансу.

Табл.1

Користь від резонансу
Музичні інструменти	Резонанс корпусу гітари, скрипки, фортепіано посилює звук.
Радіотехніка та зв’язок	Резонанс у коливальних контурах дозволяє вибирати певну частоту радіосигналу (налаштування на станцію).
Медична діагностика (МРТ)	Ядерний магнітний резонанс використовується для отримання зображень внутрішніх органів.
Сейсморозвідка	Резонансні коливання допомагають визначати структуру земних порід.
Ультразвук	Резонанс використовується для дроблення каменів у нирках (літотрипсія).
Шкода від резонансу
Мости і будівлі	Резонанс може спричинити руйнування конструкцій під дією вітру або ритмічних навантажень.
Машини та двигуни	Вібраційний резонанс призводить до зношування деталей.
Акустичний резонанс у приміщеннях	Може створювати неприємний «гул», посилення шуму.
Авіація	Резонанс лопатей двигунів може спричиняти аварії.

3. Практичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 15 хв.

Завдання №1

Деякі прихильники псевдонаукових ідей стверджують, що маятник, період коливань якого становить 1 с, нібито можна змусити коливатися «силою думки», оскільки період коливання маятника збігається з середнім ритмом серцевих скорочень людини (рис. 7).

Поясніть, чи може «сила думки» впливати на коливання математичного маятника.
Обчисліть довжину такого маятника.

Джерело: https://chatgpt.com

Можливий варіант відповіді:

Ні, «сила думки» не може впливати на маятник, бо це не фізична сила. Маятник рухається лише під дією реальних сил. Видимий ефект виникає тому, що людина несвідомо робить дуже малі рухи, які можуть збігатися з періодом маятника і підсилювати коливання (резонанс). Джерело руху — м’язи, а не думки.

Завдання №2

Відомо, що прискорення вільного падіння на Землі не є однаковим у всіх точках: воно залежить від широти, висоти над рівнем моря. У певному місці дослідник вимірював прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника (рис.8). Математичний маятник довжиною 2,5 м здійснив 100 коливань за 314 с.

Визнач період коливань маятника і прискорення вільного падіння у цьому місці.
На скільки відсотків визначене прискорення у цьому місці відрізняється від середнього значення прискорення вільного падіння на нашій планеті (g=9,81 м/с2)

Джерело: https://chatgpt.com

Відповідь:

(16) $\begin{equation*}\frac{\Delta g}{g} \cdot 100% = \frac{10-9,81}{9,81} \cdot 100% \approx 2%\end{equation*}$

Завдання №3

У шкільній STEM-лабораторії проводять налаштування лабораторного стенда для вивчення вібрацій. На пружині, жорсткість якої становить k=250 Н/м, підвісили вантаж невідомої маси. Після відхилення від положення рівноваги вантаж почав здійснювати вільні коливання. Учні зафіксували, що за час t=1 хв 20с вантаж зробив рівно 100 коливань. Визнач масу вантажу, який було підвішено до пружини.

Джерело: https://chatgpt.com

Відповідь:

Завдання №4

Автомобіль з неправильно підібраними амортизаторами підстрибує вгору-вниз з періодом 1,5 с після наїзду на яму. Автомобіль має масу 1500 кг і підтримується чотирма пружинами, які мають однаковий коефіцієнт жорсткості. Визнач коефіцієнт жорсткості кожної з пружин.

Відповідь:

Жорсткість однієї пружини

Завдання №5

Як зміниться період коливань математичного маятника, якщо збільшити його довжину вдвічі?
Як зміниться період коливань пружинного маятника, якщо зменшити коефіцієнт жорсткості пружини втричі?

Відповідь:

Період збільшиться в $\sqrt{2}$
Період збільшиться в $\sqrt{3}$

Завдання №6

Під час незатухаючих горизонтальних коливань на пружині внаслідок її стискання зменшується (рис.10)

Джерело: https://zno.osvita.ua/

х=0 – відповідає положенню рівноваги

А	кінетична енергія
Б	потенціальна енергія пружини
В	модуль прискорення тіла
Г	модуль сили пружності

Відповідь: А

Завдання №7

Маятник настільного годинника здійснює коливання із частотою 2 Гц. Скільки разів за хвилину потенціальна енергія маятника набуває максимального значення.

А	30
Б	60
В	120
Г	240

Відповідь: Г

Завдання №8

Поясни рис. 11 використовуючи поняття резонанс.

https://www.youtube.com/watch?v=th1bWrkPsko&embeds_referring_euri=https%3A%2F%2Fscienceready.com.au%2F&source_ve_path=MjM4NTE

Відео

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:

Коли гойдалка рухається від людини, її швидкість і напрям руху збігаються з напрямом поштовху. Амплітуда коливань зростає, можна спостерігати явище резонансу.

Коли гойдалка рухається на людину, поштовх спрямований проти руху. Це приводить до зменшення амплітуди коливань, а також може призвести до травми.

Завдання №9

Чому коливання, які виникають у внутрішніх органах (рис.12) під дією тих або інших зовнішніх сил, не закінчуються для людини трагічно?

Джерело: https://chatgpt.com

Відповідь:

Органи надійно закріплені в тілі.
Органи знаходяться в рідинному та м’якотканинному середовищі.
В організмі завжди присутнє сильне внутрішнє тертя.
Природа синхронізувала власні ритми органів.
- У тілі людини вже існують «вбудовані коливальні системи»:
  - серце (≈1 Гц),
  - дихання (≈0,2 Гц),
  - перистальтика,
  - судинні хвилі.

Їхні частоти не збігаються з частотами більшості зовнішніх механічних впливів, тому резонанс практично неможливий.

Завдання №10

Чому винні келихи можна “налаштувати” на резонанс, якщо змочити палець і потерти ним по краю келиха? І чому професійні співаки інколи можуть навіть розбити келих голосом? (рис.13)

Джерело: https://chatgpt.com

Відповідь:

Коли палець ковзає по краю, виникає ефект «прилипання — зрив»: палець на мить чіпляється за скло, потім зісковзує. Такі мікропоштовхи повторюються з певною частотою і збуджують власні коливання келиха.
Якщо частота цих поштовхів збігається з власною частотою келиха, виникає резонанс, і коливання швидко підсилюються — ми чуємо чистий звук.

Голос — це звукова хвиля. Якщо її частота збігається з власною частотою келиха, виникає резонанс: кожна хвиля підсилює коливання, амплітуда зростає, і скло може тріскатися.

Завдання №11

Пілоти космічного корабля Джемінай не могли читати покази приладів при частоті роботи двигуна 50 Гц, їх очі наче застилало паволокою (рис.14). Поясни це явище.

Джерело: https://chatgpt.com

Відповідь:

Робота двигуна з частотою 50 Гц створювала вібрації, які передавалися очам пілотів. Частота цих вібрацій виявилась близькою до власної частоти коливань ока, тому виник резонанс. Через це очі починали мікроскопічно коливатися, зображення на сітківці тремтіло, і покази приладів виглядали розмитими.

4. Попрактикуймо самостійно

Дружня порада вчителю

Тривалість до 7 хв.

Рівень А: 1,2
Рівень В: 1,2,3,4
Рівень С: всі

Груз масою 50 г коливається на пружині з частотою 0,7 Гц. При цьому загальна енергія системи становить 10,9 мДж.

Чому дорівнює період коливань системи.
Скільки коливань відбудиться за 2,5 хв.
Чому дорівнює коефіцієнт жорсткості пружини?
Чому дорівнює амплітуда коливань?
Яка максимальна швидкість системи?
Чому дорівнює кінетична енергія системи, коли пружина розтягнута на 6,7 см?

Відповідь:

(17) $\begin{equation*}   <ul class="wp-block-list"> <li>\ T = \frac{1}{\nu} = 1,43 \text{ c}\end{equation*}$

(18) $\begin{equation*}</li> </ul>   <ol class="wp-block-list"> <li>\ N = \nu t = 105\end{equation*}$

Завантажити матеріал (PDF)

5. Рефлексія

Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв.

Поясни фізичне явище чи термін, розглядалися на уроці не називаючи їх та не використовуючи визначення, які були на уроці.

Приклади термінів:

коливання, коливальний
резонанс
період
частота
амплітуда
власна частота
вимушені коливання

енергія
кінетична енергія
потенціальна енергія
закон збереження енергії

У вільний від відпочинку

Переглянь відео. Поясни причини такого поводження кульок. Які закономірності руху можна спостерігати.?

https://www.youtube.com/watch?v=yVkdfJ9PkRQ

Відео

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 93. Найпростіші коливальні системи. Енергія коливань. Резонанс.

Очікувані результати навчання

Очікувані результати для учнівства:

розрізняє математичний і пружинний маятники, вільні та вимушені коливання
пояснює перетворення кінетичної та потенціальної енергій під час коливань і суть явища резонансу
встановлює зв’язок між параметрами коливальної системи
наводить приклади проявів коливань і резонансу в природі, техніці та організмі людини
аналізує реальні ситуації, пов’язані з резонансом, оцінюючи його користь і можливу небезпеку

Ключові слова:

коливальні рухи
коливальна система
маятник
математичний маятник
пружинний маятник
період коливань
частота коливань
амплітуда
положення рівноваги
сила пружності
сила тяжіння
жорсткість пружини
незатухаючі коливання
вільні коливання
вимушені коливання
власна частота
резонанс
резонансна крива
енергія коливань
кінетична енергія
потенціальна енергія
закон збереження енергії.

План уроку:

Мотивація
Теоретичний блок
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Чому в Парижі маятник Фуко повертається на 11° за годину, а на екваторі не повертається взагалі?
А що було б, якби маятник Фуко підвісити на полюсі?
Чи можна побудувати маленький маятник Фуко в школі, і чому він не буде показувати обертання Землі так само точно, як великий?

Джерело: https://uk.wikipedia.org/

Посилання на відео джерела:

https://www.youtube.com/watch?v=usf_PH2M4qU&t=103s

Відео

https://www.youtube.com/watch?v=cmj141UkAGM

Відео

2. Теоретичний блок

Сьогодні ти дізнаєшся про два види маятників: математичний та пружинний.

Пружинний маятник — це коливальна система, яка являє собою тіло, закріплене на пружині.

Джерело: https://phet.colorado.edu/

Маятник має найбільшу швидкість у положенні рівноваги, тому:

У цьому випадку деформація пружини максимальна.

(19) $\begin{equation*}a = -\omega^2 x\end{equation*}$

k — жорсткість пружини.

За другим законом Ньютона:

Прирівнявши обидва вирази для прискорення, отримуємо:

(20) $\begin{equation*}\omega^2 = \frac{k}{m} \text{ або } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\end{equation*}$

Оскільки

(21) $\begin{equation*}T = \frac{2\pi}{\omega}\end{equation*}$

То період вільних коливань пружного маятника буде дорівнювати

(22) $\begin{equation*}T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\end{equation*}$

Математичний маятник – це модель ідеальної коливальної системи.

Закон збереження енергії в математичному маятнику

(23) $\begin{equation*}F = mg \sin \alpha\end{equation*}$

(24) $\begin{equation*}\sin \alpha \approx \text{tg} \alpha\end{equation*}$

З трикутника OBA:

(25) $\begin{equation*}\text{tg} \alpha = \frac{x}{l}\end{equation*}$

l — довжина нитки

(26) $\begin{equation*}F_x = -\frac{mg}{l}x\end{equation*}$

Цей вираз аналогічний виразові для сили пружності

де роль коефіцієнта пружності k відіграє величина

(27) $\begin{equation*}\frac{mg}{l}\end{equation*}$

(28) $\begin{equation*}a = -\omega^2 x\end{equation*}$

(29) $\begin{equation*}F_x = -\frac{mg}{l}x\end{equation*}$

За другим законом Ньютона:

(30) $\begin{equation*}a = \frac{F}{m} = -\frac{g}{l}x\end{equation*}$

Прирівнюючи обидва вирази для прискорення, отримуємо:

(31) $\begin{equation*}\omega^2 = \frac{k}{m} \text{ або } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\end{equation*}$

Оскільки

(32) $\begin{equation*}T = \frac{2\pi}{\omega}\end{equation*}$

То період вільних коливань математичного маятника буде дорівнювати

(33) $\begin{equation*}T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\end{equation*}$

Джерело: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/11-klas-fizika-astronomiia-zasekina-2019-standart.pdf

Резонанс

Джерело: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/11-klas-fizika-astronomiia-zasekina-2019-standart.pdf

Явище резонансу зручно описувати за допомогою графіків.

Аналізуючи графіки, можна дійти висновків:

2) чим більша в системі сила тертя, тим меншим є пік резонансної кривої, тобто тим слабше виражений резонанс.

Резонанс може приносити як шкоду так і користь. У табл.1 можна ознайомитися з прикладами прояву резонансу.

Табл.1

Користь від резонансу
Музичні інструменти	Резонанс корпусу гітари, скрипки, фортепіано посилює звук.
Радіотехніка та зв’язок	Резонанс у коливальних контурах дозволяє вибирати певну частоту радіосигналу (налаштування на станцію).
Медична діагностика (МРТ)	Ядерний магнітний резонанс використовується для отримання зображень внутрішніх органів.
Сейсморозвідка	Резонансні коливання допомагають визначати структуру земних порід.
Ультразвук	Резонанс використовується для дроблення каменів у нирках (літотрипсія).
Шкода від резонансу
Мости і будівлі	Резонанс може спричинити руйнування конструкцій під дією вітру або ритмічних навантажень.
Машини та двигуни	Вібраційний резонанс призводить до зношування деталей.
Акустичний резонанс у приміщеннях	Може створювати неприємний «гул», посилення шуму.
Авіація	Резонанс лопатей двигунів може спричиняти аварії.

3. Практичний блок

Завдання №1

Поясніть, чи може «сила думки» впливати на коливання математичного маятника.
Обчисліть довжину такого маятника.

Джерело: https://chatgpt.com

Завдання №2

Визнач період коливань маятника і прискорення вільного падіння у цьому місці.
На скільки відсотків визначене прискорення у цьому місці відрізняється від середнього значення прискорення вільного падіння на нашій планеті (g=9,81 м/с2)

Джерело: https://chatgpt.com

Завдання №3

Джерело: https://chatgpt.com

Завдання №4

Завдання №5

Як зміниться період коливань математичного маятника, якщо збільшити його довжину вдвічі?
Як зміниться період коливань пружинного маятника, якщо зменшити коефіцієнт жорсткості пружини втричі?

Завдання №6

Під час незатухаючих горизонтальних коливань на пружині внаслідок її стискання зменшується (рис.10)

Джерело: https://zno.osvita.ua/

х=0 – відповідає положенню рівноваги

А	кінетична енергія
Б	потенціальна енергія пружини
В	модуль прискорення тіла
Г	модуль сили пружності

Завдання №7

А	30
Б	60
В	120
Г	240

Завдання №8

Поясни рис. 11 використовуючи поняття резонанс.

https://www.youtube.com/watch?v=th1bWrkPsko&embeds_referring_euri=https%3A%2F%2Fscienceready.com.au%2F&source_ve_path=MjM4NTE

Відео

4. Попрактикуймо самостійно

Рівень А: 1,2
Рівень В: 1,2,3,4
Рівень С: всі

Груз масою 50 г коливається на пружині з частотою 0,7 Гц. При цьому загальна енергія системи становить 10,9 мДж.

Чому дорівнює період коливань системи.
Скільки коливань відбудиться за 2,5 хв.
Чому дорівнює коефіцієнт жорсткості пружини?
Чому дорівнює амплітуда коливань?
Яка максимальна швидкість системи?
Чому дорівнює кінетична енергія системи, коли пружина розтягнута на 6,7 см?

5. Рефлексія

Приклади термінів:

коливання, коливальний
резонанс
період
частота
амплітуда
власна частота
вимушені коливання

енергія
кінетична енергія
потенціальна енергія
закон збереження енергії

У вільний від відпочинку

Переглянь відео. Поясни причини такого поводження кульок. Які закономірності руху можна спостерігати.?

https://www.youtube.com/watch?v=yVkdfJ9PkRQ

Відео

Завантажити матеріал (PDF)