Тема 1. Тема 1

матеріал 8

Лабораторна робота № 1. Визначення центра мас плоских фігур

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 65. Лабораторна робота № 1. Визначення центра мас плоских фігур

Очікувані результати навчання

формулює самостійно або у співпраці з іншими проблему дослідження [12 ПРО 1.1.1]
добирає самостійно або у співпраці з іншими методи відповідно до мети і гіпотези дослідження [12 ПРО 1.3.1]
створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12 ПРО 1.4.1]
опрацьовує та аналізує самостійно або у співпраці з іншими результати дослідження [12 ПРО 1.5.1]
виявляє ціннісне ставлення до набутих дослідницьких навичок для пізнання природи [12 ПРО 1.6.3]
добирає самостійно або у співпраці з іншими форми подання інформації і її перетворення [12 ПРО 2.2.1]
ідентифікує, формулює та аналізує самостійно або у співпраці з іншими життєву/навчальну проблему [12 ПРО 4.2.1]
пропонує варіанти організації роботи групи: розподілення обов’язків, налагодження комунікації для розв’язання навчальної/життєвої проблеми [12 ПРО 4.4.1]

Мета уроку: ознайомити учнів з поняттям центра мас плоскої фігури. Навчити визначати положення центра мас експериментальним та аналітичним методом.

Очікувані результати для вчителя:

учені пояснюють, що таке центр мас і від чого залежить його положення;
демонструють володіння різними експериментальними методами визначення центра мас;
правильно розраховують центр мас за допомогою площ і координат центрів простих фігур;
аналізують результати та можуть зробити висновки про точність різних методів і джерела похибок.

Очікувані результати для учнівства:

учні розуміють поняття центра мас плоскої фігури;
експериментально визначають центр мас методом балансування, підвісу та геометричним методом;
розраховують центр мас складної плоскої фігури аналітичним методом;
оформлюють результати вимірювань та роблять висновки.

Ключові слова:

центр мас, центр тяжіння, площа, плоска фігура, метод підвісу, метод балансування, аналітичний метод, моменти площ

Обладнання:

лінійка, транспортир, калькулятор, картонні/паперові фігури, шнурок, тягарець, вістря або гострий кут для балансування

План уроку:

Теоретична частина
Хід роботи
Обробка результатів
Висновок
Контрольні запитання

1. Теоретична частина

Дружня порада вчителю

Тривалість до 5 хв.

Зв’яжіть теоретичні знання з практичним застосуванням у лабораторній роботі

Метод балансування на вістрі (гострому куті)

Якщо розташувати плоску (тонку) фігуру на вістрі або гострому куті й домогтися рівноваги, то точка опори завжди проходитиме через центр мас.

Геометричний метод поділу складної фігури на дві прості

Центр мас складної однорідної фігури лежить на прямій, яка з’єднує центри мас двох частин, на які ми поділили фігуру.

Якщо складну фігуру можна розбити двома різними способами на дві прості фігури, то перетин двох таких «ліній центрів мас» і є центром мас всієї фігури.

Метод підвісу (плюмб-ліній)

При підвісі тіла за будь-яку точку воно завжди займає положення рівноваги під дією сили тяжіння. У цьому положенні центр мас завжди лежить на одній вертикальній прямій із точкою підвісу. Якщо провести такі вертикалі для кількох точок підвісу, їх перетин і буде центром мас.

Плюмб-лінія – пряма, яка визначає напрям сили тяжіння в даному місці. Практично її будують за допомогою шнура з підвішеним тягарцем. У механіці це просто вертикальна лінія, проведена через точку підвісу вниз.

Плюмб-лінія допомогає геометрично визначити положення центра мас та рівноваги тіла.

Аналітичний метод

Для складної плоскої фігури (складеної з n простих частин) координати центра мас визначаються як площево-зважені середні координати центрів цих частин:

(1) $\begin{equation*}\underline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S_i \times x_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\underline{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S_i \times y_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}\end{equation*}$

де S_i– площа i-тої простої фігури, x_i, y_i – координати її центра площі в обраній системі координат.

Типові формули для площ і центрів простих плоских фігур

Прямокутник: площа S=a×b, центр у середині

(3) $\begin{equation*}x = \frac{a}{2}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}y = \frac{b}{2}\end{equation*}$

де a та b – сторони прямокутника.

Коло (повне):

(5) $\begin{equation*}S = \pi \times R^2\end{equation*}$

центр у центрі кола, де R – радіус кола.

Напівколо:

(6) $\begin{equation*}S = \frac{\pi \times R^2}{2}\end{equation*}$

центр від плоскої основи на відстані (в напрямку до опуклості).

(7) $\begin{equation*}l = \frac{4 \times R}{3 \times \pi}\end{equation*}$

Трикутник: за основою та висотою

(8) $\begin{equation*}S = \frac{1}{2} \times a \times h\end{equation*}$

де a – довжина основи, h – висота, опущена на цю основу;

за трьома сторонами (формула Герона)

(9) $\begin{equation*}S = \sqrt{p \times (p - a) \times (p - b) \times (p - c)}\end{equation*}$

де a, b, с – сторони трикутника, p – півпериметр.

2. Хід роботи

Дружня порада вчителю

Тривалість до 30 хв.

Перед початком роботи поясніть учням правила техніки безпеки поводження з гострими предметами.

Переконайтеся що всі учні розуміють кожен крок.

Дайте картонні заготовки фігур.

Забезпечте індивідуальну допомогу учням, які цього потребують.

Навчіть учнів акуратно та охайно оформлювати результати вимірювань.

Метод балансування на вістрі (гострого кута)

Виріжте фігуру з картону або використайте готові заготовки плоских фігур.
Підготуйте гострий кут або вістря (наприклад, металеву чи пластикову звужену підставку, дротину тощо) (див. рис. 1).

Рис. 1 Пластикова підставка для балансування

Джерело: https://gemini.google.com/

Покладіть вирізану фігуру на вістря так, щоб вона могла вільно гойдатися.
Повільно зсувайте фігуру, поки вона не врівноважується (не падає в жоден бік).
Позначте для себе точку опори на фігурі. Вона проходить через центр мас.

Геометричний метод поділу складної фігури на дві прості

Дружня порада вчителю

Продемонструйте правильні техніки вимірювання.

Оберіть перший поділ складної фігури на 2 частини. Розділіть складну однорідну фігуру на дві прості, для яких легко можна знайти центри мас – прямокутник, трикутник, півколо тощо (див. рис. 2).
Якщо є отвір – трактуйте його як окрему «мінус-частину».
Знайдіть центри мас обох частин:
- прямокутник – в точці перетину діагоналей;
- трикутник – у перетині медіан (на 1/3 висоти від основи);
- півколо – на осі симетрії на відстані
  (10) $\begin{equation*}l = \frac{4 \times R}{3 \times \pi}\end{equation*}$
  від діаметра (плоскої основи);
- отвір (мінус-частина) – у своєму центрі мас (вважаємо «негативною» площею).
Проведіть першу «лінію центрів» О₁О₂ – з’єднайте прямою лінією центри мас О₁та О₂цих двох частин. Шуканий центр мас всієї фігури лежить десь на цій прямій (див. рис. 2).

Рис. 2 Визначення «лінії центрів» О₁О₂ першої пари фігур

Оберіть другий, інший поділ на 2 частини. Поділіть фігуру іншим способом (не паралельним першому) та знову знайдіть центри мас двох утворених частин О₃та О₄(див. рис. 3).
Проведіть другу пряму лінію О₃О₄, що їх з’єднує.
Перетин (точка О) двох прямих «ліній центрів» О₁О₂та О₃О₄ – це центр мас всієї фігури (див. рис. 3).

Рис. 3 Визначення «лінії центрів» О₃О₄ другої пари фігур та центру мас всієї фігури в точці О

Метод підвісу (плюмб-ліній)

Дружня порада вчителю

Покажіть, як проткнути отвір шилом або голкою (безпечна демонстрація!).

Порадьте робити підвіс з двох-трьох різних точок, щоб лінії точно перетнулися.

Наголосіть, що точка перетину ліній – центр мас.

Проткніть у довільній точці (нехай точка А) на краю фігури отвір і підвісьте фігуру на нитці з тягарцем (плюмб-лінія) через цей отвір (див. рис. 4).

Рис. 4 Фігура, підвішена на нитці через точку А

Джерело: https://gemini.google.com/

Дочекайтеся, поки фігура врівноважиться, і проведіть лінію олівцем уздовж нитки – це вертикаль через центр мас.
Повторіть те саме для другої точки підвісу B (див. рис. 5).

Рис. 5 Фігура, підвішена на нитці через точку В

Джерело: https://gemini.google.com/

Знайдіть та позначте точку О перетину проведених ліній – це й є центр мас фігури (див. рис. 6).

Джерело: https://gemini.google.com/

Аналітичний метод

Дружня порада вчителю

Нагадайте учням методику роботи з системою координат (х; у).

Забезпечте індивідуальну допомогу з розрахунками учням, які цього потребують.

Оберіть систему координат (х; у). Зручно ставити початок у нижньому лівому куті ескізу (див. рис.7).

Рис. 7 Приклад застосування системи координат до фігури

Розбийте фігуру на прості елементи – прямокутники, кола, трикутники, кільця тощо.
Порожнини та отвори враховуємо як негативні площі зі знаком «−».
Для кожної частини визначте площу S_i:

Координати її власного центру (x_i; y_i) у вибраній глобальній системі координат (х; у):

Порахуйте зважені суми
(11) $\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n} S_i\end{equation*}$

Порахуйте зважені суми

(12) $\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n} S_i \times x_i\end{equation*}$

Порахуйте зважені суми

(13) $\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n} S_i \times y_i\end{equation*}$

Знайдіть координати центра мас (x, y):
(14) $\begin{equation*}\underline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S_i \times x_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}\end{equation*}$

(15) $\begin{equation*}\underline{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S_i \times y_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}\end{equation*}$

3. Обробка результатів

Дружня порада вчителю

Тривалість до 2 хв.

Порівняйте розрахункове положення центра мас, експериментальне положення за балансуванням, підвісом та геометричним методом.

4. Висновок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 4 хв.

Навчіть учнів робити змістовні та обґрунтовані висновки.

Центр мас для обраної фігури знаходиться в точці з координатами________.
Опишіть, який метод виявився найбільш точним і зручним.
Укажіть джерела похибок в роботі.

Контрольні запитання

Дружня порада вчителю

Тривалість до 4 хв.

Що таке центр мас плоскої фігури?
Як знайти центр мас складеної фігури, якщо в ній є вирізи?
Чому центр мас прямокутника лежить у середині?

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 65. Лабораторна робота № 1. Визначення центра мас плоских фігур

Очікувані результати навчання

Мета уроку: ознайомити учнів з поняттям центра мас плоскої фігури. Навчити визначати положення центра мас експериментальним та аналітичним методом.

Очікувані результати для учнівства:

учні розуміють поняття центра мас плоскої фігури;
експериментально визначають центр мас методом балансування, підвісу та геометричним методом;
розраховують центр мас складної плоскої фігури аналітичним методом;
оформлюють результати вимірювань та роблять висновки.

Ключові слова:

центр мас, центр тяжіння, площа, плоска фігура, метод підвісу, метод балансування, аналітичний метод, моменти площ

Обладнання:

лінійка, транспортир, калькулятор, картонні/паперові фігури, шнурок, тягарець, вістря або гострий кут для балансування

План уроку:

Теоретична частина
Хід роботи
Обробка результатів
Висновок
Контрольні запитання

1. Теоретична частина

Метод балансування на вістрі (гострому куті)

Якщо розташувати плоску (тонку) фігуру на вістрі або гострому куті й домогтися рівноваги, то точка опори завжди проходитиме через центр мас.

Геометричний метод поділу складної фігури на дві прості

Центр мас складної однорідної фігури лежить на прямій, яка з’єднує центри мас двох частин, на які ми поділили фігуру.

Якщо складну фігуру можна розбити двома різними способами на дві прості фігури, то перетин двох таких «ліній центрів мас» і є центром мас всієї фігури.

Метод підвісу (плюмб-ліній)

При підвісі тіла за будь-яку точку воно завжди займає положення рівноваги під дією сили тяжіння. У цьому положенні центр мас завжди лежить на одній вертикальній прямій із точкою підвісу. Якщо провести такі вертикалі для кількох точок підвісу, їх перетин і буде центром мас.

Плюмб-лінія – пряма, яка визначає напрям сили тяжіння в даному місці. Практично її будують за допомогою шнура з підвішеним тягарцем. У механіці це просто вертикальна лінія, проведена через точку підвісу вниз.

Плюмб-лінія допомогає геометрично визначити положення центра мас та рівноваги тіла.

Аналітичний метод

Для складної плоскої фігури (складеної з n простих частин) координати центра мас визначаються як площево-зважені середні координати центрів цих частин:

(16) $\begin{equation*}\underline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S_i \times x_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}\end{equation*}$

(17) $\begin{equation*}\underline{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S_i \times y_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}\end{equation*}$

де S_i– площа i-тої простої фігури, x_i, y_i – координати її центра площі в обраній системі координат.

Типові формули для площ і центрів простих плоских фігур

Прямокутник: площа S=a×b, центр у середині

(18) $\begin{equation*}x = \frac{a}{2}\end{equation*}$

(19) $\begin{equation*}y = \frac{b}{2}\end{equation*}$

де a та b – сторони прямокутника.

Коло (повне):

(20) $\begin{equation*}S = \pi \times R^2\end{equation*}$

центр у центрі кола, де R – радіус кола.

Напівколо:

(21) $\begin{equation*}S = \frac{\pi \times R^2}{2}\end{equation*}$

центр від плоскої основи на відстані (в напрямку до опуклості).

(22) $\begin{equation*}l = \frac{4 \times R}{3 \times \pi}\end{equation*}$

Трикутник: за основою та висотою

(23) $\begin{equation*}S = \frac{1}{2} \times a \times h\end{equation*}$

де a – довжина основи, h – висота, опущена на цю основу;

за трьома сторонами (формула Герона)

(24) $\begin{equation*}S = \sqrt{p \times (p - a) \times (p - b) \times (p - c)}\end{equation*}$

де a, b, с – сторони трикутника, p – півпериметр.

2. Хід роботи

Метод балансування на вістрі (гострого кута)

Виріжте фігуру з картону або використайте готові заготовки плоских фігур.
Підготуйте гострий кут або вістря (наприклад, металеву чи пластикову звужену підставку, дротину тощо) (див. рис. 1).

Джерело: https://gemini.google.com/

Покладіть вирізану фігуру на вістря так, щоб вона могла вільно гойдатися.
Повільно зсувайте фігуру, поки вона не врівноважується (не падає в жоден бік).
Позначте для себе точку опори на фігурі. Вона проходить через центр мас.

Геометричний метод поділу складної фігури на дві прості

Оберіть перший поділ складної фігури на 2 частини. Розділіть складну однорідну фігуру на дві прості, для яких легко можна знайти центри мас – прямокутник, трикутник, півколо тощо (див. рис. 2).
Якщо є отвір – трактуйте його як окрему «мінус-частину».
Знайдіть центри мас обох частин:
- прямокутник – в точці перетину діагоналей;
- трикутник – у перетині медіан (на 1/3 висоти від основи);
- півколо – на осі симетрії на відстані
  (25) $\begin{equation*}l = \frac{4 \times R}{3 \times \pi}\end{equation*}$
  від діаметра (плоскої основи);
- отвір (мінус-частина) – у своєму центрі мас (вважаємо «негативною» площею).
Проведіть першу «лінію центрів» О₁О₂ – з’єднайте прямою лінією центри мас О₁та О₂цих двох частин. Шуканий центр мас всієї фігури лежить десь на цій прямій (див. рис. 2).

Оберіть другий, інший поділ на 2 частини. Поділіть фігуру іншим способом (не паралельним першому) та знову знайдіть центри мас двох утворених частин О₃та О₄(див. рис. 3).
Проведіть другу пряму лінію О₃О₄, що їх з’єднує.
Перетин (точка О) двох прямих «ліній центрів» О₁О₂та О₃О₄ – це центр мас всієї фігури (див. рис. 3).

Метод підвісу (плюмб-ліній)

Проткніть у довільній точці (нехай точка А) на краю фігури отвір і підвісьте фігуру на нитці з тягарцем (плюмб-лінія) через цей отвір (див. рис. 4).

Джерело: https://gemini.google.com/

Дочекайтеся, поки фігура врівноважиться, і проведіть лінію олівцем уздовж нитки – це вертикаль через центр мас.
Повторіть те саме для другої точки підвісу B (див. рис. 5).

Джерело: https://gemini.google.com/

Знайдіть та позначте точку О перетину проведених ліній – це й є центр мас фігури (див. рис. 6).

Джерело: https://gemini.google.com/

Аналітичний метод

Оберіть систему координат (х; у). Зручно ставити початок у нижньому лівому куті ескізу (див. рис.7).

Розбийте фігуру на прості елементи – прямокутники, кола, трикутники, кільця тощо.
Порожнини та отвори враховуємо як негативні площі зі знаком «−».
Для кожної частини визначте площу S_i:

Координати її власного центру (x_i; y_i) у вибраній глобальній системі координат (х; у):

Порахуйте зважені суми
(26) $\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n} S_i\end{equation*}$

Порахуйте зважені суми

(27) $\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n} S_i \times x_i\end{equation*}$

Порахуйте зважені суми

(28) $\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n} S_i \times y_i\end{equation*}$

Знайдіть координати центра мас (x, y):
(29) $\begin{equation*}\underline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S_i \times x_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}\end{equation*}$

(30) $\begin{equation*}\underline{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S_i \times y_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i}\end{equation*}$

3. Обробка результатів

Порівняйте розрахункове положення центра мас, експериментальне положення за балансуванням, підвісом та геометричним методом.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Висновок

Центр мас для обраної фігури знаходиться в точці з координатами________.
Опишіть, який метод виявився найбільш точним і зручним.
Укажіть джерела похибок в роботі.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Контрольні запитання

Що таке центр мас плоскої фігури?
Як знайти центр мас складеної фігури, якщо в ній є вирізи?
Чому центр мас прямокутника лежить у середині?

Завантажити матеріал (PDF)

Ділись та обговорюй важливе