Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей. Алгебра подій. Операції над подіями.

матеріал 1

Тема уроку. Основні поняття теорії ймовірностей.

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей. Алгебра подій. Операції над подіями.

Урок 1. Тема уроку. Основні поняття теорії ймовірностей.

План уроку

Основні поняття теорії ймовірностей.
Поняття досліду (випробування) та наслідків випробування.
Означення події, протилежної події, простору елементарних подій.
Моделювання простору елементарних подій.

Очікувані результати начальних досягнень.

Учень/учениця:

вирізняє специфічні проблемні ситуації, які можуть бути розв’язані математичними методами [12 МАО 1.1.1-1 П];
досліджує специфічну проблемну ситуацію, використовуючи різноманітні інформаційні джерела [12 МАО 1.2.1-1 П];
оцінює повноту і достовірність інформації [12 МАО 1.2.1-3 П];
сприймає інформацію математичного змісту в декількох формах [12 МАО 2.1.1-1 П];
визначає, яких даних недостатньо чи є надлишкові дані, під час розв’язання специфічної проблемної ситуації [12 МАО 3.1.2-1 П];
аргументовано пояснює суть основних математичних понять, фактів і процедур, зважаючи на мету та учасників спілкування, обираючи для цього відповідні мовленнєві стратегії [12 МАО 4.3.1-2 П].

Дружні поради до уроку

1) Розпочніть урок з роз’яснення важливості застосування теорії ймовірності у різноманітних галузях практичної діяльності суспільства.

2) Сформулюйте мотиваційні запитання. Можна запропонувати учнівству історію про порятунок американських пілотів у Другій світовій війні завдяки пропозиціям математика Абрагама Вальда. Покажіть учнівству фрагмент фільму «Гра розуму», де звучить фраза: «математики виграли війну» та запропонувати їм висловити думки з приводу почутого.

3) Окресліть мету вивчення курсу «Теорія ймовірності та математична статистика».

4) Акцентуйте увагу учнів/учениць на важливості проєктного навчання упродовж вивчення курсу.

5) Перший урок носить здебільшого теоретичний характер, у якому потрібно ввести основні поняття (означення) теорії ймовірності. Всі означення важливо проілюструвати прикладами.

6) Вивчення теорії можна проводити за схемою:

сформулюйте завдання та можливості застосування теорії ймовірності;
роз’ясніть відмінність ймовірнісних дослідів від хімічних чи то фізичних експериментів;
сформулюйте означення події, як наслідку випробування;
дайте означення та наведіть приклади несумісних і рівноможливих подій;
наведіть означення простору елементарних подій, що еквівалентно повній групі подій або достовірній події;
класифікуйте події;
сформулюйте поняття складної події як підмножини А, що складається з декількох елементарних подій, універсальної множини U;
наведіть означення протилежної події.

7) Акцентуйте увагу учнів / учениць на прикладах моделювання простору елементарних подій та складних подій. Метою практичних задач є формування навичок моделювання складних подій. Моделювання складних подій з використанням теорем додавання та множення допоможе глибоко засвоїти базові принципи теорії ймовірності.

8) Важливо показати еквівалентність між подіями та множинами, між операціями над подіями і множинами (табл. 2).

9) Розв’язуйте ілюстративні приклади (задачі) для засвоєння теоретичних понять та розуміння учнями / ученицями застосування методів теорії ймовірності на практиці.

10) Кількість ілюстративних прикладів (задач) обирайте на свій розсуд.

11) Під час розв’язування задач, об’єднайте учнів / учениць у групи, що важливо для формування комунікаційних навичок. Заохочуйте учнів / учениць знаходити математичного партнера, з яким під силу розв’язати задачі. Навчайте учнівство інтегрувати здобуті знання у розв’язання практичних задач.

12) Запропонуйте учням / ученицям обирати теми для індивідуальних або групових проєктів. Теми проєктів запропоновано після кожної змістової теми (певного розділу). Наприклад, перший перелік можливих тем проєктів можна знайти після уроку 3 теми 1, на вивчення якої пропонується три години. Учні / учениці можуть обирати власні теми проєктів. Також темами проєктів можуть бути розв’язання практичних завдань уроків.

13) Проведіть рефлексію.

І. Мотиваційні питання

1) Чи можливо математично передбачити перебіг певного процесу в майбутньому?

2) Що таке «екзит пол» і для чого він проводиться?

3) Чи можливо математично описати випадковість або достовірність певної події?

4) Чому плановим відділам підприємств легкої промисловості відомо, які розміри одягу або взуття виготовляти?

5) У фільмі «Гра розуму» звучить фраза «Математики виграли війну» (Другу світову війну). Як можна пояснити таке твердження?

Запропонуйте учням / ученицям історію американського математика Абрагама Вальда, який запропонував рішення, що допомагало рятувати життя пілотів американських літаків у Другій світовій війні. Це рішення ґрунтувалося на статистичній оцінці та ймовірності.

Джерело:
Джордан Елленберг. Як ніколи не помилятися?
Сторінки: 14 і 15.
«Наш формат» – Київ, 2017.

ІІ. Основні поняття теорії ймовірностей

1. Загальні зауваження.

Теорія ймовірностей вивчає математичні моделі явищ, що враховують вплив випадку. Висновки, які випливають із дослідження цих моделей, дають змогу передбачити перебіг явища чи процесу в майбутньому.

Методами теорії ймовірностей розв’язують задачі, які виникають у таких галузях людської діяльності: комунікація з використанням технічних засобів, контроль якості масової продукції, страхова справа, банківська справа (кредитування), диспетчерська та кур’єрська служба (аеропорти, доки, порти, пошта), економіка, метеорологія, демографія, теорія ігор, теорія стрільби в військовій справі, атомна фізика, статистична фізика, поширення епідемій, спадковість у біології тощо.

Аналізом результатів, одержаних за допомогою моделей, створених методами теорії ймовірності, займається математична статистика.

Основні поняття теорії ймовірностей:

випробування або дослід;
подія;
ймовірність.

Первісним поняттям теорії ймовірностей є поняття події.

Означення.
Під подією розуміють будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбудеться або не відбудеться.

Кожна подія відбувається внаслідок проведення досліду або випробування.

2. Поняття досліду (випробування) та наслідків випробування.

Означення. Дослідом або випробуванням називають створення таких умов, результатом яких є подія.

Наведемо приклади дослідів та подій (див. табл. 1).

Таблиця 1

№	Досліди (випробування)	Події
1	Підкидання грального кубика	Випадання шістки або будь-якого іншого числа: 1, 2, 3, 4, 5
2	Придбання лотерейного білета	Виграш білета або програш білета
3	Зерно сіється в землю	Проростання паростка або його не проростання
4	Випадання кульок у грі «Мегалот»	Поява кульки з певним номером
5	Перевірка якості виготовлених однотипних деталей на виробництві	Вилучення бракованої деталі або якісної деталі
6	Стрільба по мішені одним стрільцем	Влучення у мішень або промах
7	Кредитування банками фізичних або юридичних осіб	Своєчасна сплата відсотків по кредиту або несплата відсотків
8	Виробнича діяльність підприємства	Отримання прибутку або не отримання прибутку
9	Есмінець рухається по замінованій акваторії моря	Есмінець пройде неушкодженим або підірветься на міні
10	Страхування певної особи він нещасних випадків	Виплата цій особі фінансової компенсації

Події позначають великими буквами латинського алфавіту $A,B,C,\ldots,U,V,\ldots$ , аналогічно позначенню множин. Певною ідеалізацією подій є їхня попарна несумісність та рівноможливість.

3. Означення попарно несумісних та рівноможливих подій, простору елементарних подій, протилежної події.

Означення. Події А, В, С називаються попарно несумісними в даному випробуванні, якщо жодні дві з них не можуть відбутися одночасно.

Означення. Події А, В, С називаються рівноможливими, якщо кожна з цих подій не має ніяких переваг перед іншими.

Наприклад, усі події наведені в таблиці 1, є попарно несумісними та рівноможливими.

Результатом проведення випробування є його наслідки. Наслідки випробування позначають як $\omega_{i}$ , де $i=1,2,\ldots,n$ , де $n$ — число всіх можливих наслідків даного випробування. \underline{У самих простих випадках наслідки випробування й події є тотожними поняттями.}

Приклади наслідків випробування.

1) При одноразовому підкиданні грального кубика можливі наслідки: $\omega_{i}={1,2,3,4,5,6}$ , тобто випадання однієї із шести цифр.

2) При одноразовому підкиданні монети можливі наслідки: $\omega_{i}={\text{Г},\ \text{Ц}}$ , тобто випадання герба (Г) або цифри (Ц).

3) При перевірці якості виготовлених на виробництві виробів можливі наслідки: $\omega_{i}={\omega_{1},\ \omega_{2}}$ , де $\omega_{1}$ — виріб придатний, $\omega_{2}$ — виріб бракований.

Якщо внаслідок проведення випробування обов’язково відбудеться хоча б одна зі всіх можливих подій, то такі події утворюють повну групу подій.

Елементарні події – це рівноможливі та несумісні події. Такі події утворюють повну групу подій або простір подій.

Означення. Сукупність або множину всіх елементарних подій випробування називають простором елементарних подій та позначають Ω.

Приклади подій, що утворюють простір елементарних подій.

1) Виграш або програш даного лотерейного білета.

2) Випадання «цифри» або «герба» при підкиданні монети.

3) Влучення в ціль або промах при одному пострілі.

4) Випадання однієї із 6 цифр під час одного підкидання грального кубика.

5) Виплата або невиплата банку клієнтом взятих у кредит коштів.

6) Виготовлення стандартної або бракованої деталі одним робітником.

Якщо події є елементарними, то елементарні наслідки та елементарні події – еквівалентні поняття.

Приклад. При підкиданні двох гральних кубиків елементарним наслідком є пара чисел

ω= (a, b), де а – одна із цифр першого кубика, b – одна із цифр другого кубика.

При цьому, 1 ≤ a ≤ 6, 1 ≤ b ≤ 6. Кожний із зазначених елементарних наслідків є елементарною подією за тих же умов випробування.

Усі події поділяються на:

достовірні;
випадкові;
неможливі.

Означення. Достовірною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково має відбутися.

Простір елементарних подій Ω це множина, яка складається зі всіх можливих елементарних подій, її називають універсальною множиною і позначають U. Таким чином, універсальна множина є достовірною подією.

Приклад. При підкиданні грального кубика може випасти одна із шести граней. Сукупність усіх елементарних подій (елементарних наслідків), тобто випадання однієї з шести граней, утворює універсальну множину.

Отже, маємо такі еквівалентні означення: повна група подій, простір елементарних подій, достовірна подія.

Якщо деяка подія V ніколи не відбудеться при кожному здійсненні експерименту, то вона є неможливою (інше позначення ∅).

Якщо деяка подія в одних випробуваннях відбувається, а в інших – ні, то вона називається випадковою.

ІІІ. Моделювання простору елементарних подій

Означення. Підмножина $A$ , що складається з декількох елементарних подій, універсальної множини $\Omega = U$ , називають складною подією.

Приклади складних подій.

1) Випадання парної кількості очок при двох підкиданнях грального кубика.

2) Випадання двох «гербів» при трьох підкиданнях монети.

3) Отримання прибутку двома підприємствами акціонерного товариства, що складається з трьох підприємств.

4) Виплата страхової компенсації трьом клієнтам страхової компанії з десяти навмання обраних.

5) Виграш двох лотерейних білетів із 1000 куплених.

Зобразити графічно універсальну множину та її підмножину можна за допомогою діаграми (див. рисунок).

На рисунку множина U – достовірна подія або простір усіх елементарних подій, А – деяка елементарна або складна подія, що належить простору елементарних подій, A̅ – протилежна подія до події А.

Ілюстративні задачі.

1. Двічі підкидають монету. Визначте простір Ω елементарних подій цього випробування.

Розв’язання.

Випадання герба монети при одному її підкиданні позначимо Г, а випадання цифри – Ц. Тоді при двох підкиданнях можливі наступні наслідки: ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ. Отже, простір елементарних подій, що складається зі всіх можливих наслідків випробування, є множина Ω = {ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ}.

Відповідь. Ω = {ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ}.

2. Два безпілотні літальні апарати атакують різні цілі. Визначне простір елементарних подій цього випробування.

Розв’язання.

Кожен із безпілотників може вразити ціль або не вразити. Позначимо $A_{1}$ і $A_{2}$ , що цілі вражені відповідно першим та другим БПЛА і $\overline{A_{1}}, \overline{A_{2}}$ , що цілі не вражені відповідно першим та другим безпілотниками. Можливі такі наслідки: $A_{1}A_{2}, A_{1}\overline{A_{2}}, \overline{A_{1}}A_{2}, \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}$ .

Отже, простір елементарних подій: $\Omega={A_{1}A_{2},\ A_{1}\overline{A_{2}},\ \overline{A_{1}}A_{2},\ \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}}$ .

Відповідь. $\Omega = {A_{1}A_{2},; A_{1}\overline{A_{2}},; \overline{A_{1}}A_{2},; \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}}$

Означення. Подія $\overline{A}$ , яка відбувається тоді, коли подія $A$ не відбудеться, називається протилежною до події $A$ .

Приклади протилежних подій.

1) Якщо подія $A$ — «влучення при одному пострілі із гвинтівки», то $\overline{A}$ — «промах при одному пострілі із цієї ж гвинтівки».

2) Якщо подія $B$ — «вилучення із партії виготовлених виробів бракованого виробу», то $\overline{B}$ — «вилучення із партії виготовлених виробів придатного виробу».

3) Якщо подія $C$ — «жоден лотерейний білет не виграв», тоді $\overline{C}$ — «виграв принаймні один із білетів».

У кожній ймовірнісній моделі розглядають основну множину $\Omega = {\omega_{i}}$ , елементи якої $\omega_{i}$ називають елементарними подіями. Саму множину $\Omega$ називають простором елементарних подій, а деякі підмножини $A \subseteq \Omega$ – складними подіями. Операції над подіями – це операції над підмножинами. При цьому в теорії ймовірностей використовують свою термінологію, зв’язок якої з термінологією теорії множин відображено в таблиці 2 [5].

Таблиця 2

Позначення	Термінологія в теорії множин	Термінологія в теорії ймовірностей
$\Omega$	універсальна множина	простір елементарних подій, достовірна подія
$\omega,\ \omega\in\Omega$	елемент множини ω	елементарна подія ω
$A,\ A\subseteq\Omega$	множина А	складна подія А
$A\cup B,\ A + B$	сума або об’єднання множин А і В	сума подій А і В
$A\cap B,\ A\cdot B$	перетин множин А і В	добуток подій А і В
$A\setminus B$	різниця множин А і В	різниця подій А і В
$\varnothing$	порожня множина	неможлива подія
$\overline{A}$	додаткова множина множини А	протилежна подія події А
$A\subseteq B$	А є підмножиною множини В	із події А випливає подія В
$A\cap B=\varnothing$	множини А і В не перетинаються	події А і В несумісні
$A=B$	множини А і В збігаються	події А і В рівносильні

Примітка. Над подіями можна виконувати операції аналогічно до операцій над множинами. Операції над подіями розглянемо в наступній темі.

Ілюстративні задачі.

Еколог, який контролює якість питної води, бере зразки води з трьох різних водойм, щоб визначити, чи має вода допустимий, чи недопустимий рівень забруднення. Він перевіряє три водойми послідовно, одна за одною. Визначте простір елементарних подій цього випробування.

Розв’язання.

Уведемо позначення: $A_{i}\ (i=1,2,3)$ — допустимий рівень забруднення $i$ -ої водойми, $\overline{A_{i}}\ (i=1,2,3)$ — недопустимий рівень забруднення $i$ -ої водойми. Простір $\Omega$ елементарних подій складається зі всіх можливих наслідків випробування — забору води з трьох різних водойм, загальна кількість яких становить $2^{3}=8$ . А саме: $A_{1}A_{2}A_{3}$ ; $\overline{A_{1}}A_{2}A_{3}$ ; $A_{1}\overline{A_{2}}A_{3}$ ; $A_{1}A_{2}\overline{A_{3}}$ ; $\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$ ; $\overline{A_{1}}A_{2}\overline{A_{3}}$ ; $A_{1}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}}$ ; $\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}}$ .

У грі орлянка гравець тричі підкидає монету. Визначте простір елементарних подій цього випробування. Опишіть подію А – «випало не менше двох гербів» та подію В – «випала одна цифра».

Розв’язання.

1) Випадання герба монети при одному її підкиданні позначимо Г, а випадання цифри – Ц. Простір елементарних подій, аналогічно попередній задачі, складається з восьми можливих наслідків випробування: ГГГ, ЦЦЦ, ГГЦ, ЦГГ, ГЦГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ГЦЦ.

2) Події А – «випало не менше двох гербів» відповідають наслідки випробування: ГГГ, ГГЦ, ЦГГ, ГЦГ.

3) Події В – «випала одна цифра» відповідають наслідки випробування: ГГЦ, ЦГГ, ГЦГ.

Відповідь. Ω = {ГГГ, ЦЦЦ, ГГЦ, ЦГГ, ГЦГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ГЦЦ}, A = {ГГГ, ГГЦ, ЦГГ, ГЦГ}, B = {ГГЦ, ЦГГ, ГЦГ}.

IV. Ров’язування задач.

Рівень А

Із тридцяти перших натуральних чисел вибираємо число. Скільки елементарних наслідків матиме подія: «вилучення простого числа»?
Наведіть приклади шести рівноможливих подій та наслідків цих подій. Укажіть події, протилежні до запропонованих вами. Запишіть приклади у таблицю.
Наведіть приклади чотирьох складних подій та наслідків цих подій. Запишіть приклади у таблицю.
Банк кредитує п’ятьох осіб. Опишіть усі наслідки події, яка полягає у поверненні боржниками коштів банку. Запишіть простір елементарних подій даного випробування (повернення клієнтами коштів).
Два фрезерувальники виготовляють однотипні деталі й мають однаковий професійний досвід. Вони можуть виготовити як якісну деталь так і браковану. Опишіть простір елементарних подій вилучення навмання по одній деталі, виготовлених кожним фрезерувальником.
Снайпер тричі стріляв у ціль. Нехай подія $A_{i}$ полягає у влученні в мішень при $i$ -му пострілі ( $i=1,2,3$ ). Опишіть через події $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ простір елементарних подій події — «влучення відбулося при двох пострілах».

Рівень В

У однієї з п’яти подружок день народження. Іменинниця запросила чотирьох подружок відсвяткувати свій день народження. Задайте простір елементарних подій, що троє із них прийдуть вчасно, а одна запізниться.
Виробничий концерн складається з чотирьох підприємств. Якщо усі чотири підприємства отримають прибуток або три підприємства отримають прибуток від реалізації виготовленої продукції, а одне терпить збитки, то концерн матиме прибуток. Задайте простір елементарних подій, що виробничий концерн отримає прибуток.
При заході в порт Одеси на рейді стоять три вантажні судна. У доках порту можна одночасно розвантажувати два судна. Задайте простір елементарних подій, що розвантажено будь-які два судна із трьох суден.
Чотири гармати стріляють по ворожих цілях. За умови, що артилеристи мають однаковий досвід і гармати в задовільному стані опишіть простір елементарних подій:
1. «влучила лише одна гармата»;
2. «влучили лише дві гармати»;
3. «влучили три гармати».

V. Рефлексія. Check list.

1) Оцініть розуміння теми уроку балами від 1 до 10.

2) Як я почуваюсь на уроці?

〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
^{Жахливо}									^Чудово

3) Поради собі до наступного уроку

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теми можливих учнівських проєктів.

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей. Алгебра подій. Операції над подіями.

Розв’яжіть задачі рівня В уроків 1 – 3.
Історія зародження та становлення теорії ймовірності.
Внесок українських математиків у розвиток теорії ймовірності.
Український математик Володимир Скороход – творець теорії стохастичних рівнянь.
Моделювання складних подій. Приклади з економіки, транспортної логістики, військової справи, спорту тощо.
Історія розвитку математичної статистики. Методи математичної статистики для обробки статистичних даних.
Застосування статистичних методів у соціологічних опитуваннях, екзит полах.

Завантажити матеріал (PDF)

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей. Алгебра подій. Операції над подіями.

Урок 1. Тема уроку. Основні поняття теорії ймовірностей.

Робочий аркуш

Виконав/виконала _______________________________________________

Check in.

На уроці ви:

отримаєте уявлення про курс «Теорія ймовірності та математична статистика»;
вивчите основні поняття теорії ймовірності;
навчитеся класифікувати події;
зрозумієте як моделювати простір елементарних подій;
навчитеся застосовувати теорію теми щодо розв’язання практичних задач.

І. Мотиваційні питання

1) Чи можливо математично передбачити перебіг певного процесу в майбутньому?

2) Що таке «екзит пол» і для чого він проводиться?

3) Чи можливо математично описати випадковість або достовірність певної події?

4) Чому плановим відділам підприємств легкої промисловості відомо, які розміри одягу або взуття виготовляти?

ІІ. Основні поняття теорії ймовірностей

1. Загальні зауваження.

Основні поняття теорії ймовірностей:

випробування або дослід;
подія;
ймовірність.

Первісним поняттям теорії ймовірностей є поняття події.

Означення. Під подією розуміють будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбудеться або не відбудеться.

Кожна подія відбувається внаслідок проведення досліду або випробування.

2. Поняття досліду (випробування) та наслідків випробування.

Означення. Дослідом або випробуванням називають створення таких умов, результатом яких є подія.

Наведемо приклади дослідів та подій (див. табл. 1).

Таблиця 1

№	Досліди (випробування)	Події
1	Підкидання грального кубика	Випадання шістки або будь-якого іншого числа: 1, 2, 3, 4, 5
2	Придбання лотерейного білета	Виграш білета або програш білета
3	Зерно сіється в землю	Проростання паростка або його не проростання
4	Випадання кульок у грі «Мегалот»	Поява кульки з певним номером
5	Перевірка якості виготовлених однотипних деталей на виробництві	Вилучення бракованої деталі або якісної деталі
6	Стрільба по мішені одним стрільцем	Влучення у мішень або промах
7	Кредитування банками фізичних або юридичних осіб	Своєчасна сплата відсотків по кредиту або несплата відсотків
8	Виробнича діяльність підприємства	Отримання прибутку або не отримання прибутку
9	Есмінець рухається по замінованій акваторії моря	Есмінець пройде неушкодженим або підірветься на міні
10	Страхування певної особи він нещасних випадків	Виплата цій особі фінансової компенсації

3. Означення попарно несумісних та рівноможливих подій, простору елементарних подій, протилежної події.

Наприклад, усі події наведені в таблиці 1, є попарно несумісними та рівноможливими.

Приклади наслідків випробування.

Якщо внаслідок проведення випробування обов’язково відбудеться хоча б одна зі всіх можливих елементарних подій, то такі події утворюють повну групу подій.

Елементарні події – це рівноможливі та несумісні події. Такі події утворюють повну групу подій або простір подій.

Приклади подій, що утворюють простір елементарних подій.

1) Виграш або програш даного лотерейного білета.

2) Випадання «цифри» або «герба» при підкиданні монети.

3) Влучення в ціль або промах при одному пострілі.

4) Випадання однієї із 6 цифр під час одного підкидання грального кубика.

5) Виплата або невиплата банку клієнтом взятих у кредит коштів.

6) Виготовлення стандартної або бракованої деталі одним робітником.

Якщо події є елементарними, то елементарні наслідки та елементарні події – еквівалентні поняття.

Приклад. При підкиданні двох гральних кубиків елементарним наслідком є пара чисел

ω= (a, b), де а – одна із цифр першого кубика, b – одна із цифр другого кубика.

Усі події поділяються на:

достовірні;
випадкові;
неможливі.

Означення. Достовірною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково має відбутися.

Отже, маємо такі еквівалентні означення: повна група подій, простір елементарних подій, достовірна подія.

Якщо деяка подія в одних випробуваннях відбувається, а в інших – ні, то вона називається випадковою.

ІІІ. Моделювання простору елементарних подій

Приклади складних подій.

1) Випадання парної кількості очок при двох підкиданнях грального кубика.

2) Випадання двох «гербів» при трьох підкиданнях монети.

3) Отримання прибутку двома підприємствами акціонерного товариства, що складається з трьох підприємств.

4) Виплата страхової компенсації трьом клієнтам страхової компанії з десяти навмання обраних.

5) Виграш двох лотерейних білетів із 1000 куплених.

Зобразити графічно універсальну множину та її підмножину можна за допомогою діаграми (див. рисунок).

Ілюстративні задачі.

1. Двічі підкидають монету. Визначте простір Ω елементарних подій цього випробування.

Приклади протилежних подій.

3) Якщо подія $C$ — «жоден лотерейний білет не виграв», тоді $\overline{C}$ — «виграв принаймні один із білетів».

3) Якщо подія С – «жоден лотерейний білет не виграв», тоді – «виграв принаймні один із білетів».

Таблиця 2

Позначення	Термінологія в теорії множин	Термінологія в теорії ймовірностей
$\Omega$	універсальна множина	простір елементарних подій, достовірна подія
$\omega,\ \omega\in\Omega$	елемент множини ω	елементарна подія ω
$A,\ A\subseteq\Omega$	множина А	складна подія А
$A\cup B,\ A + B$	сума або об’єднання множин А і В	сума подій А і В
$A\cap B,\ A\cdot B$	перетин множин А і В	добуток подій А і В
$A\setminus B$	різниця множин А і В	різниця подій А і В
$\varnothing$	порожня множина	неможлива подія
$\overline{A}$	додаткова множина множини А	протилежна подія події А
$A\subseteq B$	А є підмножиною множини В	із події А випливає подія В
$A\cap B=\varnothing$	множини А і В не перетинаються	події А і В несумісні
$A=B$	множини А і В збігаються	події А і В рівносильні

Примітка. Над подіями можна виконувати операції аналогічно до операцій над множинами. Операції над подіями розглянемо в наступній темі.

Ілюстративні задачі.

Еколог, який контролює якість питної води, бере зразки води з трьох різних водойм, щоб визначити, чи має вода допустимий, чи недопустимий рівень забруднення. Він перевіряє три водойми послідовно, одна за одною. Визначте простір елементарних подій цього випробування.

У грі орлянка гравець тричі підкидає монету. Визначте простір елементарних подій цього випробування. Опишіть подію А – «випало не менше двох гербів» та подію В – «випала одна цифра».

IV. Ров’язування задач.

Рівень А

Із тридцяти перших натуральних чисел вибираємо число. Скільки елементарних наслідків матиме подія: «вилучення простого числа»?
Наведіть приклади шести рівноможливих подій та наслідків цих подій. Укажіть події, протилежні до запропонованих вами. Запишіть приклади у таблицю.
Наведіть приклади чотирьох складних подій та наслідків цих подій. Запишіть приклади у таблицю.
Банк кредитує п’ятьох осіб. Опишіть усі наслідки події, яка полягає у поверненні боржниками коштів банку. Запишіть простір елементарних подій даного випробування (повернення клієнтами коштів).
Два фрезерувальники виготовляють однотипні деталі й мають однаковий професійний досвід. Вони можуть виготовити як якісну деталь так і браковану. Опишіть простір елементарних подій вилучення навмання по одній деталі, виготовлених кожним фрезерувальником.
Снайпер тричі стріляв у ціль. Нехай подія $A_{i}$ полягає у влученні в мішень при $i$ -му пострілі ( $i=1,2,3$ ). Опишіть через події $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ простір елементарних подій події — «влучення відбулося при двох пострілах».

Рівень В

У однієї з п’яти подружок день народження. Іменинниця запросила чотирьох подружок відсвяткувати свій день народження. Задайте простір елементарних подій, що троє із них прийдуть вчасно, а одна запізниться.
Виробничий концерн складається з чотирьох підприємств. Якщо усі чотири підприємства отримають прибуток або три підприємства отримають прибуток від реалізації виготовленої продукції, а одне терпить збитки, то концерн матиме прибуток. Задайте простір елементарних подій, що виробничий концерн отримає прибуток.
При заході в порт Одеси на рейді стоять три вантажні судна. У доках порту можна одночасно розвантажувати два судна. Задайте простір елементарних подій, що розвантажено будь-які два судна із трьох суден.
Чотири гармати стріляють по ворожих цілях. За умови, що артилеристи мають однаковий досвід і гармати в задовільному стані опишіть простір елементарних подій:
1. «влучила лише одна гармата»;
2. «влучили лише дві гармати»;
3. «влучили три гармати».

V. Рефлексія. Check list.

1) Оцініть розуміння теми уроку балами від 1 до 10.

2) Як я почуваюсь на уроці?

〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
^{Жахливо}									^Чудово

3) Поради собі до наступного уроку

Теми можливих учнівських проєктів.

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей. Алгебра подій. Операції над подіями.

Розв’яжіть задачі рівня В уроків 1 – 3.
Історія зародження та становлення теорії ймовірності.
Внесок українських математиків у розвиток теорії ймовірності.
Український математик Володимир Скороход – творець теорії стохастичних рівнянь.
Моделювання складних подій. Приклади з економіки, транспортної логістики, військової справи, спорту тощо.
Історія розвитку математичної статистики. Методи математичної статистики для обробки статистичних даних.
Застосування статистичних методів у соціологічних опитуваннях, екзит полах.