Тема 1. Тема 1

матеріал 11

Статистична обробка результатів вимірювань

Матеріал

Для вчителя

Для учня

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 10. Статистична обробка результатів вимірювань

Очікувані результати навчання

формулює самостійно або у співпраці з іншими проблему дослідження [12 ПРО 1.1.1]
створює і аналізує самостійно або у співпраці з іншими моделі об’єктів і явищ, які необхідно дослідити [12ПРО 1.4.1]
формулює самостійно або у співпраці з іншими висновки за результатами досліджень та обґрунтовує їх [12 ПРО 1.5.2]
добирає самостійно або у співпраці з іншими форми подання інформації і її перетворення [12 ПРО 2.2.1]
інтерпретує самостійно або у співпраці з іншими інформацію природничого змісту, представлену в різний спосіб [12 ПРО 2.2.2]
установлює та обґрунтовує самостійно або у співпраці з іншими взаємозв’язки між природними, техногенними об’єктами, закономірності явищ природи [12 ПРО 3.3.1]
визначає самостійно або у співпраці з іншими аргументи/твердження, теорії, що ґрунтуються на наукових фактах і доказах [12 ПРО 4.1.1]
ідентифікує, формулює та аналізує самостійно або у співпраці з іншими життєву/навчальну проблему [12 ПРО 4.2.1]

Мета уроку: ознайомити учнів з методами статистичної обробки результатів вимірювань, навчити аналізувати похибки вимірювань за допомогою статистичних методів

Очікувані результати для вчителя:

учні пояснюють, що таке середнє значення, медіана, мода, дисперсія, стандартне відхилення
здатні провести серію вимірювань певної величини
обчислюють середнє значення, стандартне відхилення та похибку результату
аналізують точність отриманих даних
роблять висновки щодо достовірності вимірювань

Очікувані результати для учнівства:

пояснюють поняття статистичної обробки даних
розраховують основні статистичні характеристики (середнє значення, медіана, мода, дисперсія, стандартне відхилення)
застосовують статистичні методи для аналізу похибок
формують уявлення про необхідність статистичних методів у вимірюваннях
висловлюють власну думку, спираючись на отримані результати

Ключові слова:

статистична обробка
середнє значення
мода
медіана
дисперсія
стандартне відхилення
нормальний розподіл
ймовірність похибки

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Основи статистичної обробки вимірювань
2.2. Нормальний розподіл
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Дружня порада вчителю

Тривалість до 3 хв.

Проблемне питання

Чи можна довіряти одному вимірюванню, чи краще проводити серію вимірювань? Чому при багаторазових вимірюваннях отримують різні результати?

Джерело: https://gemini.google.com/

Відповідь: Одному вимірюванню не можна довіряти повністю, адже воно може містити похибки. Серія вимірювань дозволяє виявити та зменшити вплив випадкових похибок, але все одно їх не усуває.

Також залишається людський фактор – різні спостерігачі можуть по-різному зчитувати результат, технічні обмеження приладу та фізичні зміни об’єкта – наприклад, нагрівання металевої лінійки змінює її довжину.

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/k_TUF26C79k?feature=shared

Відео

2. Теоретичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 15 хв.

2.1. Основи статистичної обробки вимірювань

У процесі проведення вимірювань неминуче виникають похибки, тому необхідно використовувати методи статистичної обробки для отримання найбільш достовірного значення виміряної величини.

Дружня порада вчителю

Поясніть що таке середнє значення x. Почніть з простого запитання: «Як знайти одне найкраще число, що представляє групу чисел?» Підведіть учнів до ідеї усереднення.

Використайте знайомі приклади, наприклад, середній бал учня за кілька оцінок, середній зріст групи дітей.

Середнє значення x – це арифметичне середнє всіх отриманих результатів вимірювань:

(1) $\begin{equation*} \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{N} \end{equation*}$

де x₁, x₂,x_n – результати вимірювань, N – кількість вимірювань.

Наприклад, знайдемо середнє значення для чисел: 4, 6, 8, 10.

(2) $\begin{equation*} \bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7 \end{equation*}$

Дружня порада вчителю

Поясніть, що мода – це «найпопулярніше» значення в наборі даних. Запитайте: «Яке значення зустрічається найчастіше?»

Використайте приклад із життя: улюблений колір серед учнів класу, найпопулярніший розмір взуття тощо.

Наведіть чіткі приклади унімодального, бімодального та розподілу без моди.

Мода – це значення, яке зустрічається найчастіше у вибірці даних.

Наприклад, якщо ми вимірюємо температуру в приміщенні протягом дня, то мода буде значенням температури, яке зустрічається найчастіше.

Може бути одна мода – унімодальний розподіл: наприклад, у вибірці 2, 4, 4, 5, 6 мода – це 4, бо вона зустрічається двічі.

Може бути кілька мод – бімодальний або мультимодальний розподіл: наприклад, 1, 2, 2, 3, 3, 4 має дві моди – 2 і 3, бо обидва значення з’являються однаково часто.

Або взагалі не бути, якщо всі значення зустрічаються лише один раз: наприклад 1, 2, 3, 4, 5.

Дружня порада вчителю

Поясніть, що медіана – це «серединне» значення після впорядкування даних. Акцентуйте на важливості попереднього сортування.

Використайте приклади з непарною та парною кількістю значень, чітко показуючи процес знаходження медіани в обох випадках.

Медіана – це значення, яке ділить впорядкований набір даних на дві рівні частини.

Наприклад, при вимірюванні рівня глюкози у крові в різних пацієнтів, медіана покаже значення, яке ділить всі отримані результати на дві рівні
групи – одна половина пацієнтів має рівень глюкози нижчий за медіану, інша – вищий.

Щоб знайти медіану треба впорядкувати дані від найменшого до найбільшого.

Якщо кількість значень непарна – медіана це середнє число.

Якщо кількість значень парна – медіана це середнє арифметичне двох центральних чисел.

Наприклад:

Непарна кількість значень: набір: 3, 1, 5.

Впорядковано: 1, 3, 5, медіана 3.

Парна кількість значень: набір: 4, 2, 7, 6.

Впорядковано: 2, 4, 6, 7, медіана

(3) $\begin{equation*} \frac{4 + 6}{2} = 5 \end{equation*}$

Дружня порада вчителю

Поясніть, що дисперсія показує, наскільки далеко розкидані дані від середнього значення. Використовуйте слова «розкиданість», «мінливість».

Чітко пройдіть кожен етап розрахунку дисперсії на прикладі – віднімання середнього, піднесення до квадрату, сумування, ділення на кількість.

Дисперсія σ² – це міра розсіювання даних щодо середнього значення. Вона показує, наскільки сильно варіюються значення у вибірці. Мала дисперсія – дані близько до середнього, а велика дисперсія – значення дуже розкидані.

Формула дисперсії для вибірки (обмежена кількість значень):

(4) $\begin{equation*} \sigma^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(x_i - \bar{x})^2}{N} \end{equation*}$

або cукупності значень:

(5) $\begin{equation*} \sigma^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} \end{equation*}$

де x_i – значення у вибірці, x – середнє значення, N – розмір усієї сукупності.

Нехай дана вибірка 2, 4, 6, 8.

Обчислюємо середнє x:

(6) $\begin{equation*} \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5 \end{equation*}$

Віднімаємо середнє x від кожного xi і підносимо до квадрату (x_i-x)²:

(2 – 5)² = 9

(4 – 5)² = 1

(6 – 5)² = 1

(8 – 5)² = 9

Знаходимо дисперсію σ² як середнє з суми квадратів:

(7) $\begin{equation*} \sigma^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5 \end{equation*}$

Дружня порада вчителю

Поясніть, що стандартне відхилення – це «середнє» відхилення значень від середнього, виражене в тих же одиницях, що й самі дані (на відміну від дисперсії).

Стандартне середньоквадратичне відхилення σ – це корінь квадратний з дисперсії. Воно показує, наскільки в середньому кожне значення відрізняється від середнього значення. Воно ж є випадковою похибкою вимірювань ∆lвип.

Дружня порада вчителю

Ця формула застосовується, коли ми маємо лише частину даних (вибірку) і хочемо оцінити дисперсію цієї вибірки. Для цього ми використовуємо ділення на N (розмір вибірки)

Ця формула використовується для обчислення дисперсії, коли ми маємо всі значення, тобто сукупність. Для обчислення дисперсії сукупності ми використовуємо ділення на N(N−1), оскільки це забезпечує більш точну оцінку дисперсії

Формула для розрахунку середньоквадратичне відхилення σ вибірки:

(8) $\begin{equation*} \sigma = \sqrt{\sigma^2} \end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2} \end{equation*}$

або похибки серії вимірювань:

(10) $\begin{equation*} \sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{N} \frac{(x_i - \bar{x})^2}{N(N - 1)}} \end{equation*}$

Наприклад, для попереднього прикладу, якщо 2= 5, то

(11) $\begin{equation*} \sigma = \sqrt{5} = 2{,}24 \end{equation*}$

Чим менше σ – тим стабільніші (менш розкидані) дані.

Дружня порада вчителю

Почніть з прикладу природних явищ, які мають тенденцію до нормального розподілу – зріст, вага великої кількості людей.

Наочно покажіть графік нормального розподілу, підкреслюючи його симетричність та розташування середнього, медіани та моди в центрі.

На графіку нормального розподілу чітко позначте межі одного, двох та трьох стандартних відхилень від середнього.

Поясніть, що ці відсотки показують, яка частина даних очікується в кожному інтервалі.

2.2. Нормальний розподіл

У багатьох експериментах результати вимірювань розподіляються за нормальним законом, що називається розподілом Гауса. Його графік має форму дзвону.

Розподіл є ідеально симетричним відносно середнього значення x. Середнє, медіана та мода рівні є однаковими.

Правило трьох сигм (правило 68-95-99,7):

приблизно 68 % даних потрапляє в межах одного стандартного відхилення від середнього (x ± 1σ);

95 % даних потрапляє в межах двох стандартних відхилень від середнього (x ± 2σ);99,7 % даних потрапляє в межах трьох стандартних відхилень від середнього (x ± 3σ).

3. Практичний блок

Дружня порада вчителю

Тривалість до 20 хв.

Завдання № 1

(Середнє арифметичне)

Обчисліть середнє арифметичне для наступного набору результатів вимірювань 12, 14, 13, 15, 16, 11, 14, 13.

Відповідь:

(12) $\begin{equation*} \bar{x} = \frac{108}{8} = 13{,}5 \end{equation*}$

Завдання № 2

(Мода)

У наборі вимірювань 5, 7, 7, 8, 10, 5, 7, 6 знайдіть моду. Який тип розподілу має вибірка: унімодальний, бімодальний чи мультимодальний?

Відповідь:

Порахуємо, скільки разів кожне число зустрічається:5 – 2 рази, 6 – 1 раз, 7 – 3 рази, 8 – 1 раз, 10 – 1 раз. Мода – це значення, яке зустрічається найчастіше – 7. Найчастіше зустрічається лише одне значення. Отже, розподіл – унімодальний (одна мода).

Завдання № 3

(Медіана)

Визначте медіану для кожного з двох наборів даних:

а) 3, 7, 2, 9, 4
б) 8, 5, 6, 9

Відповідь:

Набір а) 3, 7, 2, 9, 4

Упорядкуємо: 2, 3, 4, 7, 9

Кількість елементів 5 (непарна)

Середнє (3-тє) значення – 4

Медіана – 4

Набір б) 8, 5, 6, 9

Упорядкуємо: 5, 6, 8, 9

Кількість елементів 4 (парна)

Беремо два центральних значення: 6 і 8

Обчислюємо середнє

(13) $\begin{equation*} \bar{x} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \end{equation*}$

Медіана – 7

Завдання № 4

(Дисперсія та стандартне відхилення)

Для вибірки 10, 12, 14, 16, 13

Обчисліть середнє значення

Обчисліть дисперсію

Обчисліть стандартне відхилення

Відповідь:

Середнє значення

(14) $\begin{equation*} \bar{x} = \frac{10 + 12 + 14 + 16 + 13}{5} = 13 \end{equation*}$

Обчисліть дисперсію

(15) $\begin{equation*} \sigma^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(x_i - \bar{x})^2}{N} \end{equation*}$

Знаходимо відхилення та їх квадрати (x_i-x)²

(10 – 13)² = 9

(12 – 13)² = 1

(14 – 13)² = 1

(16 – 13)² = 9

(13 – 13)² = 0

Знаходимо дисперсію σ²як середнє з суми квадратів:

(16) $\begin{equation*} \sigma^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 9 + 0}{5} = 4 \end{equation*}$

Обчисліть стандартне відхилення

(17) $\begin{equation*} \sigma = \sqrt{\sigma^2} \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} \sigma = \sqrt{4} = 2 \end{equation*}$

Завдання № 5

(Правило трьох сигм)

У результатах вимірювань середнє значення становить 50 см, а стандартне відхилення σ = 4 см.

Знайдіть межі, в які потрапляє:

68 % значень
95 % значень
99,7 % значень

Відповідь:

Знаходимо межі за правилом трьох сигм (68-95-99,7):

68 % значень:

(x ± 1σ)

(50 ± 4) см

[46 см, 54 см]

68 % вимірювань лежить у межах від 46 см до 54 см

95 % значень:

(x ± 2σ)

(50 ± 8) см

[42 см, 58 см]

95 % вимірювань лежить у межах від 42 см до 58 см

99,7 % значень:

(x ± 3σ)

(50 ± 12) см

[38 см, 62 см]

99,7 % вимірювань лежить у межах від 38 см до 62 см

Завдання № 6

(Побудова гістограми на основі даних)

Дано оцінки 30 учнів за контрольну роботу: 45, 78, 82, 90, 66, 74, 59, 81, 77, 69, 88, 92, 73, 61, 55, 84, 70, 80, 76, 67, 85, 79, 91, 62, 58, 83, 65, 72, 68, 60.

Побудуй гістограму розподілу цих балів:

Визначте кількість інтервалів

Визначте ширину інтервалу:

Визначте межі інтервалів:

Підрахуйте частоту потрапляння значень у кожен інтервал:

Побудуйте гістограму:

Відповідь:

Визначте кількість інтервалів: Кількість інтервалів впливає на вигляд гістограми. Занадто мало інтервалів може приховати деталі розподілу, а занадто багато може зробити гістограму занадто роздробленою. Можна взяти приблизно 5 або 6 інтервалів.

Визначте ширину інтервалу:

Ширина=(Макс.знач-Мін.знач)/Кільк. інтерв

Спочатку знайдемо мінімальне та максимальне значення у вашому наборі даних:

Мінімальне значення: 45

Максимальне значення: 92

Отже, ширина даних становить:

Ширина=(92-45)/6≈7,83≈8

Визначте межі інтервалів: Починаючи з мінімального значення, створіть інтервали однакової ширини. Використовуючи ширину 8 і починаючи з 45:

Інтервал 1: [45, 52]

Інтервал 2: [53, 60]

Інтервал 3: [61, 68]

Інтервал 4: [69, 76]

Інтервал 5: [77, 84]

Інтервал 6: [85, 92]

Підрахуйте частоту потрапляння значень у кожен інтервал: Перегляньте кожне значення у вашому наборі даних і визначте, до якого інтервалу воно належить. Підрахуйте кількість значень у кожному інтервалі.

[45, 52]: 45 (1)

[53, 60]: 59, 55, 58, 60 (4)

[61, 68]: 61, 66, 67, 62, 65, 68 (6)

[69, 76]: 69, 74, 73, 70, 76, 72 (6)

[77, 84]: 78, 82, 81, 77, 84, 80, 79, 83 (8)

[85, 92]: 90, 88, 92, 85, 91, 92 (5)

Побудуйте гістограму: На горизонтальній осі (вісь X) відкладіть інтервали оцінок. На вертикальній осі (вісь Y) відкладіть частоту (кількість учнів) для кожного інтервалу. Для кожного інтервалу намалюйте стовпчик, висота якого відповідає частоті значень у цьому інтервалі. Стовпчики повинні бути розташовані впритул один до одного.

4. Попрактикуймо самостійно

Дружня порада вчителю

Тривалість до 5 хв.

Рівень А

Обчисліть середнє для набору: 5, 8, 10, 7
У наборі 3, 3, 5, 7 знайдіть моду.
Знайдіть медіану: 4, 6, 2

Відповідь:

Середнє значення
(19) $\begin{equation*} \bar{x} = \frac{5 + 8 + 10 + 7}{4} = 7{,}5 \end{equation*}$
У цьому наборі 3 зустрічається двічі, інші – по одному разу. Відповідь: мода 3.
Спочатку впорядкуємо числа: 2, 4, 6.

Медіана – це середнє значення впорядкованого набору з непарною кількістю елементів. Відповідь: 4

Рівень В

Середнє значення x = 30 г, σ = 5 г. За правилом трьох сигм, визначте межі для 95% вимірювань.

Відповідь:

95 % значень:

(x ± 2σ)

(30 ± 5) г

[25 г, 35 г]

95 % вимірювань лежить у межах від 25 г до 35 г

Рівень С

Визначте дисперсію і стандартне відхилення для вибірки: 6, 8, 10, 12, 14

Відповідь:

Знаходимо середнє:

(20) $\begin{equation*} \bar{x} = \frac{6 + 8 + 10 + 12 + 14}{5} = 10 \end{equation*}$

Знаходимо відхилення та їх квадрати

(6 – 10)² = 16

(8 – 10)² = 4

(10 – 10)² = 0

(12 – 10)² = 4

(14 – 10)² = 16

Знаходимо дисперсію σ² як середнє з суми квадратів:

(21) $\begin{equation*} \sigma^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8 \end{equation*}$

Обчисліть стандартне відхилення

(22) $\begin{equation*} \sigma = \sqrt{8} = 2{,}83 \end{equation*}$

5. Рефлексія

Дружня порада вчителю

Тривалість до 2 хв.

Це завдання спрямоване на розвиток рефлексії, критичного мислення і глибшого розуміння статистичних понять через власні висловлювання або аналіз тверджень інших учнів.

«5 балів»

Оціни від 1 до 5 балів тезиси:

«Після уроку я зрозумів, що кожне вимірювання має похибки, і саме статистика дозволяє нам визначити найточніше значення. Тепер я краще розумію, навіщо обчислювати середнє значення, дисперсію та стандартне відхилення.»

Твій бал _________

«Дисперсія спочатку здалася складною, але коли я побачив її на прикладі, я усвідомив, що це просто “розкиданість” чисел навколо середнього. І це дуже логічно.»

Твій бал _________

У вільний від відпочинку час

Проведіть домашній дослід з вимірювання падіння м’яча з довільної висоти. Запишіть серію вимірів.

Обчисліть середнє для набору вимірів.
У наборі знайдіть моду.
Знайдіть медіану.

Завантажити матеріал (PDF)

Урок 10. Статистична обробка результатів вимірювань

Очікувані результати навчання

Мета уроку: ознайомити учнів з методами статистичної обробки результатів вимірювань, навчити аналізувати похибки вимірювань за допомогою статистичних методів

Очікувані результати для учнівства:

пояснюють поняття статистичної обробки даних
розраховують основні статистичні характеристики (середнє значення, медіана, мода, дисперсія, стандартне відхилення)
застосовують статистичні методи для аналізу похибок
формують уявлення про необхідність статистичних методів у вимірюваннях
висловлюють власну думку, спираючись на отримані результати

Ключові слова:

статистична обробка
середнє значення
мода
медіана
дисперсія
стандартне відхилення
нормальний розподіл
ймовірність похибки

План уроку:

Мотиваційна частина
Теоретичний блок
2.1. Основи статистичної обробки вимірювань
2.2. Нормальний розподіл
Практичний блок
Попрактикуймо самостійно
Рефлексія

1. Мотивація

Проблемне питання

Чи можна довіряти одному вимірюванню, чи краще проводити серію вимірювань? Чому при багаторазових вимірюваннях отримують різні результати?

Джерело: https://gemini.google.com/

Посилання на відео джерела:

https://youtu.be/k_TUF26C79k?feature=shared

Відео

https://youtu.be/vHOfbWVjwUM?feature=shared

Відео

https://youtu.be/2RVc79wy8_E?feature=shared

Відео

https://youtu.be/Ws4dH6kfU5g?feature=shared

Відео

https://youtu.be/4DEwP_6pllc?feature=shared

Відео

2. Теоретичний блок

2.1. Основи статистичної обробки вимірювань

У процесі проведення вимірювань неминуче виникають похибки, тому необхідно використовувати методи статистичної обробки для отримання найбільш достовірного значення виміряної величини.

Середнє значення x – це арифметичне середнє всіх отриманих результатів вимірювань:

(23) $\begin{equation*} \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{N} \end{equation*}$

де x₁, x₂,x_n – результати вимірювань, N – кількість вимірювань.

Наприклад, знайдемо середнє значення для чисел: 4, 6, 8, 10.

(24) $\begin{equation*} \bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7 \end{equation*}$